四類求極值應用題的解題思路與方法

甘肅省高臺縣第一中學 王維斌

求極值類數學應用問題，與工農業生產、人們日常生活有著密切的聯系，它要求學生運用“數形結合”的理論、思想、方法建立實際問題的數學模型，來解決實際問題.這對培養學生分析和解決問題的能力有很大的幫助.求極值類數學應用題由于涉及到的知識點多，綜合性較強，考查的范圍廣，分值較高，已成為近年來高考的必考考點.因此學會和掌握這類應用題的解題方法與技巧，就能夠為考生在高考中奪取高分奠定堅實的基礎.

1 根據數列性質解決利息類問題

利息類問題雖然也屬于增長率問題，但它具有自身的特點，同時由于高中生平時對銀行這類儲蓄問題比較陌生，很容易出錯.所以，解決這類問題首先要搞清利率的兩種計算方法.①單利計算：假設A元本金的年利息為Ar元，n年的利息為nAr元，那么n年后的本利之和為A+nAr=A(1+nr)元；②復利計算：第1年后的本利之和為A(1+r)元，第2年后的本利之和為A(1+r)2元(前一年的本利之和為后一年的本金)，這樣n年后的本利之和為A(1+r)n.然后把它化歸為等比(差)數列問題處理.

例1一對農村中年夫妻為了給他們的獨生女兒積攢將來上大學的學費，從孩子一出生就在她每年生日那天到銀行存上一筆錢.設某大學每年的學費為2 500元，上完四年本科共需1萬元.考慮到通貨膨脹因素，學費將以每年5%的速度遞增.假設女兒出生那年銀行存款年利率為7.5%，假定存款利息18年內不變.按復利計算，試問，當女兒到18歲上大學時，他們已經存足了四年的學費，那么每年生日那天應存入多少錢？

解：1萬元學費，按5%的上漲率，18年后為10 000×(1+5%)18≈10 000×2.406 6=24 066(元).

解得x≈627.5(元).

答：他們每年生日那天應存入627.5元.

思路與方法：本題的計算要從孩子0歲時存款算起，1～18歲每年的利息與本金之和組成的數列為x(1+0.75)，x(1+0.75)17，……，x(1+0.75)18，根據等比數列的規律，按照復利息計算公式計算.

2 運用數形結合思想解決產品設計類問題

工廠和車間經常要加工或生產某種規格的機械零件，要在用料最少(最省)的前提下，使零部件的面積或長、寬符合某種要求.這實際上就是在限制條件下求最值類問題，可以運用“數形結合”思想通過建立數學模型來解決.

圖1

解：如圖1，設正十字形的長DG為y，寬AB為x，其外接圓直徑DH=d，正十字形的面積為S，外接圓周長為C.

由正十字形的對稱性，可知

S=xy+x(y-x)=2xy-x2

①

d2=x2+y2

②

C=πd③

3 通過解不等式組解決整點問題

對于點P(x，y)，當其橫坐標和縱坐標都為整數時，我們稱點P為整點.在實際問題中，這里的x，y通常都為自然數，即x，y∈N.像諸如藥劑最佳配料類整點問題，就可以通過解不等式組來解決.

例3配制A，B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料.已知配A種藥需要甲料3 mg，乙料5 mg；配B種藥需要甲料5 mg，乙料4 mg.現有甲料20 mg，乙料25 mg.若A，B兩種藥至少各配一劑，問最多一共能配幾劑？

解：設A，B兩種藥分別能配x劑和y劑，x，y∈N*，則有不等式組

圖2

所以，在至少各配一劑的條件下，A，B兩種藥最多一共能配5劑.

思路與方法:本題是把最多配劑(求極大值)問題轉化為解不等式組的問題，由于所圍成的區域受不等號方向的影響，所以解題時要防止區域出錯；另外還要注意尋求符號要求的整點，比較后再決定取舍.

4 用逆反建模法解決動態類求證問題

在現實生活中，我們有時會遇到一些隨著時間、地點、空間等不斷變化的動態類問題[1]，從正面思考時往往感到難以入手，這時我們不妨從逆反思維的角度嘗試去解決.

例4有若干個距離彼此不等的機場，每一機場都有一架飛機起飛，飛到離它最近的機場降落.試證明：任一機場降落的飛機不能超過5架.

圖3

證明：如圖3，假設有一機場O降落的飛機超過5架，不妨設為6架，它們分別來自A，B，C，D，E，F這6個機場.

∵A到O的距離與A到B的距離不等，

∴OA

同理，OB

∴在△OAB中，AB為最大邊.

這與6個角之和為2π矛盾，故假設不成立.

因此，任一機場降落的飛機不能超過5架.

思路與方法：本題的證明如果從正面入手顯然有困難，所以我們不妨從反面思考，假設有某一機場降落的飛機超過5架，看能否通過幾何模型來導出矛盾.本題的證明過程并不復雜，關鍵是要通過觀察、分析、類比、聯想、轉化等方法[2]，將實際問題巧妙地轉化為數學模型.

求極值類應用題涉及代數、三角、立體幾何、解析幾何等眾多知識領域，且題型多樣，有一定的難度.當然，針對不同的類型，解題的思路與方法也不同，例如本文中介紹的“運用數列性質、數形結合、解不等式組、逆反建模”等，其中最重要的是要學會運用“數形結合”的解題思想；要了解和熟練掌握常見類型題的解法，特別是數學建模的方法.在此基礎上，仔細觀察，認真思考，合理聯想，勤加練習，長此以往，就能夠逐步接近“舉一反三”高效解題的目標.