復合函數巧求導 精設結構妙成章
——對二次曲線切線方程原創性方法的論證

武漢大學附屬中學 楊宏齊 齊黎明 袁 明

1 預備知識

圖1

2 關于圓的切線方程

(1)過圓上一點的切線方程

已知圓C方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，若P(x0，y0)在圓上，則過點P的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；若P(x0，y0)在圓外，過P作圓的兩條切線PA，PB，則切點弦AB所在直線的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

圖2

如圖2，P(x0，y0)為圓C上一點，過點P的切線為l，則CP⊥l.

設直線l：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)+c=0，又l過點P(x0，y0)，且點P(x0，y0)在圓C上，則(x0-a)2+(y0-b)2+c=0，所以c=-r2.

故過圓上一點P(x0，y0)的切線l的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

(2)過圓外一點的切點弦方程

圖3

如圖3，P(x0，y0)為圓C外一點，過點P作圓C的兩條切線PA，PB，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知直線PA，PB的方程分別為

(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2；

(x2-a)(x-a)+(y2-b)(y-b)=r2.

又因為點P(x0，y0)在直線PA，PB上，所以，

(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2，

(x2-a)(x-a)+(y2-b)(y-b)=r2.

由此可知點A，B均在直線(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2上.

所以切點弦AB所在直線的方程為

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

特別地，當圓心在原點，圓C的方程為x2+y2=r2時，有以下兩個結論：

①若點P(x0，y0)在圓C上時，則過P(x0，y0)的切線方程為xx0+yy0=r2；

②若點P(x0，y0)在圓C外時，過P可作兩條切線PA，PB，則切點弦AB所在直線的方程為xx0+yy0=r2.

3 關于橢圓的切線及切點弦所在直線方程

(1)過橢圓上一點的切線方程

受過圓上一點切線方程推導的啟發，可以先通過求導求切線的斜率，進而得到切線的法向量，切線方程設出精巧結構，便于后面代點.

由點(x0,y0)在切線上，可得m=1.

因此，過橢圓上一點P(x0,y0)的切線方程為

如果點P(x0,y0)在坐標軸上，很容易檢驗符合上式.

(2)過橢圓外一點的切點弦方程

4 關于雙曲線的切線及切點弦所在直線方程

5 關于拋物線的切線及切點弦所在直線方程

所以可取切線的法向量為(p,-y0)，切線方程可設為px-y0y+c=0.

所以，過拋物線上一點P(x0,y0)的切線方程為

y0y=p(x+x0).

若P為頂點(0，0)，切線符合上式.同理可以推證拋物線切點弦所在直線方程為y0y=p(x+x0) .

例1過點P(1，-2)作圓C：x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為( ).

解析：切點弦AB所在直線的方程為x·1+y·(-2)=1，即x-2y-1=0.故選：D.

變式(2021秋·開福區校級月考)已知圓x2+y2=25，則過圓上一點A(3，4)的切線方程為( ).

A．3x+4y-25=0 B．4x+3y-24=0

C．3x-4y+7=0 D．4x-3y=0

解析:切線方程為x·3+y·4=25，即3x+4y-25=0.故選：A.

(1)證明：直線AB過定點；

第(2)問略.

以二次曲線為背景，通過深入研究切線及切點弦問題[1]，培養學生發現問題、提出問題、解決問題的能力.根據上述幾點結論，讓學生感受切線及切點弦問題[2]的豐富內涵以及突破高中數學中切線及切點弦問題的多種途徑.