強化解題研究 提升思維能力

甘肅省甘谷第一中學 劉蘭生

數學解題及其研究一直是教師教學與學生學習中的一個重要過程．歷年的典型高考真題，都是數學解題研究的一大活字典，利用高考真題的典型性、基礎性、綜合性、應用性和創新性，強化解題研究，探究教學藝術，挖掘問題本質，拓展規律結論，摒棄題海戰術，全面提升學生的解題能力、創新能力、綜合能力以及思維能力等，以及教師的教學水平與研究能力．下面結合一道2021年高考真題的解題研究加以剖析、展開、應用．

1 巧展高考題

A．0 B．1 C．2 D．3

2 夯實基本功

常規解法最能體現學生的數學基本功，是學生審題后第一時間內自然而然想到的、常見的破解方法之一，也是學生解題經驗的積累與應用的充分體現．夯實基本功，是教師教學與學生學習中最基本的要求之一.因此，要不斷強化基礎訓練，全面提升學生的“四基”水平，提升解題能力．

解法1：基本不等式+特殊值法.

利用基本不等式，可得

以上三式同向相加，整理可得

綜上分析，可知滿足條件的個數的最大值是2.故選擇答案：C．

點評：解法1是比較容易想到的破解方法之一.首先利用基本不等式確定三個值之和sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα的取值范圍，確定所求個數的上限；然后利用特殊角的選取，通過求值直接確定滿足題意的個數情況；最后綜合判斷滿足條件的個數的最大值．基本不等式與特殊值的結合，方法基本，雙管齊下，一張一弛，巧妙判斷．

3 培養探究欲

解法2：二倍角公式法.

以下部分同解法1.

點評：利用三個三角代數式相乘處理，結合三角恒等變換中的二倍角公式加以變形，借助三角函數的有界性確定其積式的最大值，結合不等式的性質確定三者不可能同時滿足條件，得以合理推理與論證．

解法3：主元法.

利用輔助角公式，可得

sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα

(令u=cos2γ+sin2α)

以下部分同解法1．

點評：利用三個三角代數式相加處理，結合輔助角公式對其中兩個和式進行變形與轉化；利用三角函數的圖象與性質、基本不等式加以轉化，引入參數，把對應的三角關系式轉化為涉及參數的二次函數問題；通過配方處理，結合二次函數的圖象與性質確定其和式的最大值，結合不等式的性質確定三者不可能同時滿足條件，得以合理推理與論證．

解法4：反證法.

則α>β，β>γ與γ>α矛盾，故假設不成立.

以下部分同解法1．

解法5：排序不等式法.

以下部分同解法1．

點評：利用三個不相等銳角的一般處理方法，確定對應的大小關系，進而得到對應的正弦值與余弦值的大小關系；利用排序不等式中“亂序和小于等于同序和”建立不等關系式，結合三角恒等變換公式加以變形與轉化；再利用三角函數的圖象與性質確定其和式的最大值，結合不等式的性質確定三者不可能同時滿足條件，得以合理推理與論證．

事實上，在數學解題過程中，強化解題研究，充分審題析題，不應停留在問題的表面以及問題成功破解的第一步，而是不斷進行認真研究，解后思考、探究、拓展、變式、總結等，深入進行“一題多解”“一題多思”“一題多探”“一題多變”“多題一解”等創新應用，歸納總結題目類型與破解規律，不斷發展學生的機智和創造力，全面提升綜合能力、創新能力與應用能力等．