運用函數(shù)思想證明不等式

甘肅省靜寧縣第一中學 鮑曉霞

函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，函數(shù)的思想和應用是貫穿整個高中數(shù)學的一條主線.運用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題，這種思路就是函數(shù)思想.不等式也是高中數(shù)學的主要內(nèi)容，它幾乎涵蓋了高中數(shù)學的各個領域，中學數(shù)學的各部分內(nèi)容都與不等式有著千絲萬縷的聯(lián)系；由于不等式的證明類問題，對邏輯推理能力的要求較高，加之題型廣泛，方法靈活，考查面廣，深受命題者的青睞，既是近年來高考的熱點問題，也是高中數(shù)學的重點和難點.人教版選修4-5的第二講“證明不等式的基本方法”中，集中介紹和講解了“比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法”等常見的幾種證明方法，在第四講中還補充了“用數(shù)學歸納法證明不等式”等內(nèi)容.看起來證明不等式的方法學得很多了，但是當我們用這些方法去證明一些非常規(guī)類不等式時，常常會感到力不從心，這也是許多考生對不等式證明題懷有畏難情緒的主要原因之一.看來我們還有必要學習和掌握一些應對非常規(guī)類不等式證明的方法與技巧.

運用函數(shù)思想證明不等式，就是應對那些非常規(guī)類不等式證明的一種策略，就是對那些本身沒有明顯函數(shù)關系的不等式，通過類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等方法，合理地引進函數(shù)[1]，并通過對所引進函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、連續(xù)性、有界性等性質(zhì)的研究，使不等式最終得證.

1 利用函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性，在具體的函數(shù)中不難判別；對有些涉及到數(shù)列以及以自然數(shù)n為變量的證明題時，如果能與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系起來，往往能夠找到更簡捷的證明方法.

證明：當n>1,n∈N時，不妨令

f(n+1)

故f(n+1)>f(n).

即f(n)是單調(diào)增函數(shù)(n=2,3，……).

2 利用函數(shù)的奇偶性

利用偶函數(shù)的軸對稱性和奇函數(shù)的中心對稱性，常能使不等式的證明過程變得簡捷，還能避免復雜的討論.

故f(x)為偶函數(shù).

當x>0時，2x>1，即1-2x<0，則f(x)<0.

由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當x<0時，亦有f(x)<0.

方法與技巧：本題先把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，然后利用偶函數(shù)的對稱性進行證明，收到了化繁為簡的奇效.

3 利用三角函數(shù)的有界性

如果x∈R，那么|sinx|≤1，|cosx|≤1，這就是三角函數(shù)的有界性.對于一些與三角函數(shù)有關的不等式，如果能很好地利用其有界性，往往能夠幫助我們快速找到解題的突破口，從而使問題順利解決.

證明：因α，β為銳角，可把α，β，π-(α+β)看作三角形的三個內(nèi)角，且其對邊分別為a，b，c.

因為|sin(α+β)|≤1，所以sin2α+sin2β=sin(α+β)≥sin2(α+β)=sin2[π-(α+β)].

根據(jù)正弦定理，得a2+b2≥c2，從而可得

所以sin(α+β)=sin2α+sin2β>cos2β+sin2β=1，這與|sin(α+β)|≤1矛盾.

方法與技巧：從本題的證明過程可以看出，三角函數(shù)的有界性在證明不等式的過程中起到了關鍵的橋梁作用.所以說，運用正、余弦定理將邊角關系進行巧妙轉(zhuǎn)化，是函數(shù)思想的運用之妙.

4 利用二次函數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，若Δ≤0，則恒有f(x)≥0；反之，若恒有f(x)≥0，則Δ≤0.依此來構造二次函數(shù)解題是常用的方法.

例4α，β，γ為任意三角形的三個內(nèi)角，求證：x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ對于任意實數(shù)x，y，z總成立.

證明：令f(x)=x2-2x(ycosα+zcosγ)+y2+z2-2yzcosβ，則

Δ=4(ycosα+zcosγ)2-4(y2+z2-2yzcosβ)

=4y2(cos2α-1)+8yz(cosαcosγ+cosβ)+4z2(cos2γ-1)

=-4y2sin2α+8yz[cosαcosγ-cos(α+γ)]-4z2sin2γ

=-4y2sin2α+8yzsinαsinγ-4z2sin2γ=-4(ysinα-zsinγ)2≤0.

所以f(x)≥0.

故x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.

方法與技巧：首先將待證的不等式整理變形為x的二次函數(shù)式f(x)=x2-2x(ycosα+zcosγ)+y2+z2-2yzcosβ≥0，只要能證明f(x)的圖象不在x軸的下方即可.

5 利用二項式定理

除了直接使用二項式定理和適當變形后再運用二項式定理證明不等式的方法外，我們還可以通過利用二項式定理構造函數(shù)f(x)=(a+x)n(n∈N)的方法進行證明，這種方法在證明不等式、組合數(shù)恒等式、組合數(shù)求和等題型中得到廣泛應用[2].

例5證明：當n≥3，n∈N時，2n≥2(n+1).

=2n.

當n=3時，2n=2(1+n)；

綜上可知，當n≥3時，2n≥2(n+1).

方法與技巧：本題就是靈活運用二項式定理把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，然后采用分步討論證明方法的典型實例.

綜上所述，證明非常規(guī)類不等式就要采用非常規(guī)的方法，運用函數(shù)思想證明非常規(guī)類不等式具有極大的便捷性與實用性，“運用之妙存乎一心”，在具體的解題過程中，我們要根據(jù)題目提供的信息靈活選擇合適的方法與技巧進行證明，解題時既要充分利用已知條件和函數(shù)的性質(zhì)，又要時刻牢記解題目標.