立體幾何中二面角問題的解法例析

江蘇省淮安中學 丁 軍

1 向量法

向量法，是指將待求的兩個平面放入直角坐標系中，通過向量的知識(例如向量的夾角公式等)進行求解的方法，是求解二面角問題最有效的方法之一.利用向量法求解，避免了添加輔助線作二面角的平面角的麻煩，有效降低題目難度.利用向量法解題的主要步驟：①根據題設找出三條相互垂直的直線建立空間直角坐標系，這是正確求解的關鍵之一；②將待求的兩個平面上的點的坐標及每個面的法向量表示出來；③計算向量的坐標，并利用向量的夾角公式計算，最后還需注意判斷二面角的平面角和兩個法向量的夾角之間的關系，結合實際圖形判斷所求角是鈍角還是銳角[1].

圖1

例1直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，已知AA1=4,AB=2,∠BAD=60°，BC,BB1,A1D的中點分別是E,M,N，求二面角A-MA1-N的正弦值.

圖2

(1)求直線AM與平面BCD所成的角的大小；

(2)求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值.

2 定義法

定義法是指利用二面角的定義進行求解的一種方法.從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形就叫做二面角.一般利用二面角的平面角度量二角面，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度(平面角的取值范圍是0°≤θ≤180°).二面角的定義也是求解二面角問題的有效手段，關鍵在于正確找出二面角的平面角.利用定義法解題的主要步驟：①根據題意作輔助線，準確找出二面角的平面角；②根據題設條件證明上述角是二面角的平面角；③根據題意利用余弦定理等公式計算求解.簡要概括為“一作、二證、三計算”.

圖3

例2在四面體ABCD中，AC=AB=1，CD=BD=2，AD=2.5，BC=1.5，求二面角A-BC-D的余弦值.

分析:如圖3所示，設E為BC的中點.選擇輔助線AE，DE，然后利用二面角的定義確定角A-BC-D的平面角為∠AED，再分別計算線段AE，DE的長度，利用余弦定理進行求解.

解析:設線段BC的中點是E，連接AE，DE.

由AC=AB=1，CD=BD=2，可得

AE⊥BC，DE⊥BC.

所以∠AED是二面角A-BC-D的平面角.

拓展：如圖4,在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小.

圖4

圖5

3 垂面法

求解二面角問題的常用方法還包括垂面法.垂面法，就是指作一個與二面角的棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交得到交線所成的角為二面角的平面角.適用于銳二面角或直角二面角問題.利用垂面法解題的主要步驟：①根據題意作出與棱垂直的平面；②結合實際問題找出二面角的平面角；③證明上述平面角為二面角的平面角并求出其大小[2].

圖6

例3在平面角等于60° 的二面角α-l-β中有一點P，點P到α，β的垂線段長分別為PC=3 cm，PD=5 cm，求點P到棱l的距離.

分析:如圖6所示，本題所選擇的垂面為平面PCD，進而確定二面角α-l-β的平面角為∠CED=60°，最后根據l⊥平面PCED，得l⊥PE，PE即為點P到棱l的距離.

解析:設過P，C，D三點的平面分別交平面α，β于CE，DE.易證l⊥平面PCD.

∴l⊥DE，l⊥CE.

∴∠CED即為二面角α-l-β的平面角.

∴∠CED=60°，∠CPD=120°.

由余弦定理，可知CD=7.

∵l⊥平面PCED，

∴l⊥PE.

∴PE即為點P到棱l的距離.

又∵P，C，E，D四點共圓，∠PCE=90°，

∴PE是該圓的直徑.

圖7

(1)求證：PC⊥平面BEF；

(2)求二面角C-BE-F的大小.

求解二面角問題是高中數學的重要內容，在全國各地高考數學試卷中也經常出現，求解二面角的方法中，筆者認為最簡單且最普遍適用的方法莫過于向量法，只要合理建系，正確計算求解即可.