三類抽象函數常考題型例析

廈門集美中學 陳習儉

1 f(x+y)=f(x)+f(y)型

求最值問題是有關抽象函數問題常見的一類題型，需要根據函數的自身基本特征求解，例如f(x+y)=f(x)+f(y)類型的抽象函數，可以先構建一次函數(f(x)=kx)進行轉化：①分析函數f(x)的原型解析式，以及該函數的周期性、奇偶性、單調性等；②利用f(x+y)=f(x)+f(y)等基本特征求解，通過構造不等式判斷函數在定義域內的單調性；③具體問題具體分析，結合所知條件得到所求最值.

例1對任意的x，y∈R，函數f(x)均滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，并且當x<0時，有f(x)>0,f(1)=-3，求函數f(x)在區間[-2，3]上的最大值和最小值.

分析:本題是很明顯的一次函數型抽象函數問題，其中f(x)的原型是y=-3x.猜想該函數是實數集R上單調遞減的奇函數，要求解在區間[-2，3]上的最值，即分析f(-2)，f(3)的值.

解：根據題意，得f(0)=0，f(-x)=-f(x)，f(2)=2f(1)=-6，f(3)=3f(1)=-9.

令任意x1

f(x1)-f(x2)

=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)

=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)

=f(x1-x2).

依題意，由x1-x2<0，得f(x1-x2)>0.

即有f(x1)>f(x2).

所以f(x)在區間[-2，3]上是減函數.

故它的最大值為f(-2)=-f(2)=6，最小值為f(3)=-9.

分析:由于一次函數滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，可假設函數f(x)=-kx，借助已知條件f(1)=-2求出具體函數解析式，判斷所得解析式是否滿足“當x>0時，f(x)<0”這一條件.最后將所求一次函數解析式代入命題中的不等式中，求出具體解集，即可判斷命題的真假.

解析：設函數f(x)=-kx.

由f(1)=-2，可得k=2.

即f(x)=-2x，且滿足x>0時，f(x)<0.

代入不等式，可得-6x2+4x<-6x+4.

整理，得6x2-10x+4>0.

故所給命題為真命題.

2 f(xy)=f(x)f(y)型

求自變量的值是抽象函數問題的另一類常見題型，也需要利用其函數基本特征求解，例如f(xy)=f(x)f(y)特征類抽象函數，可以構建冪函數型(f(x)=xn)特征函數進行轉化，需要遵循以下思路：①猜想具體函數解析式，根據題設信息分析函數的具體形式，例如f(x)=x-1等；②根據猜想的函數形式判斷對應函數的單調性，并利用單調性解題；③利用函數基本特征解題，即將f(xy)=f(x)f(y)等基本特征與實際問題相結合進行求解.

解：根據題意可知

所以f(x)在區間(0，+∞)是減函數.

又因為f(1)=f2(1)，f(x)>0，所以f(1)=1.

又f(m)f(3)=f(3m)，所以f(3m)=1=f(1).

變式2已知f(x)在(0，+∞)上都有f(x)>0，且滿足f(xy)=f(x)f(y)，f(3)=27，若f(-a2)=-64，則求a的值.

分析:猜測滿足條件f(xy)=f(x)f(y)的函數f(x)為冪函數型，則假設f(x)=xn，利用該條件與f(3)=27推斷函數f(x)的解析式，并判斷函數的奇偶性，然后由f(-a2)=-64，即可得到a的值.

解析：假設函數f(x)=xn.

由f(3)=27，可得f(x)=x3.

則有f(-x)=-f(x).

所以f(-a2)=-f(a)f(a)=-64.

因此f(a)=8,故a=2.

3 f(x+y)=f(x)f(y)型

抽象函數問題常見的還包括證明不等式成立問題，利用其函數基本特征是求解的常規手段，例如形如f(x+y)=f(x)f(y)的抽象函數，可以構建指數函數型[y=ax(a>0,a≠1)]特征函數進行轉化：①確定函數的解析式，即由題設信息分析得到函數的具體形式，例如y=a2等；②判斷函數的單調性，即根據函數解析式和題設條件，猜測函數在對應定義域內的單調性；③利用函數基本特征分析求解，即結合已知條件和函數的基本特征如f(x+y)=f(x)f(y)，解得所求值.

例3已知函數f(x)對任意x，y∈R，都滿足f(x+y)=f(x)f(y)，且當x>0時，有01.

分析:首先結合題意得到y=e-x是函數f(x)的原型，從而猜測f(x)是減函數，再利用指數函數的基本特征f(x+y)=f(x)f(y)分析，得到01成立.

證明 ：依題意，得f(1)=f(1+0)=f(1)f(0).

又f(1)>0,所以f(0)=1.

所以f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1.

當x<0時，則-x>0,0

故f(x)>1.

綜上所述，當x<0時，f(x)>1.

證明:因為當x>0時，0

f(x2)f(y2)=f(x2+y2)>f(1).

因為函數f(x)在R上單調遞減，所以

x2+y2<1.

故集合A代表圓面x2+y2<1內點的集合.

因為f(1)=f(0+1)=f(0)f(1)，且f(1)>0,所以

f(0)=1.

由上述三個案例及其解題思路可以發現，對于有關抽象函數問題，首先需要根據題意構建對應函數類型，然后分析函數單調性，再利用對應的基本特征求解.因此一定要仔細分析題意，并熟悉各類函數的形式和性質，確保求解方向正確.