2022年天津高考數學導數題解法探究

漢中市漢臺中學 劉春麗

1 試題呈現：

(Ⅰ)求f(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(Ⅱ)若函數f(x)與g(x) 的圖象有公共點.

(ⅰ)當a=0時，求b的取值范圍；

(ⅱ)證明:a2+b2>e.

2 解法探究

下面只對第(Ⅱ)問進行探究.

2.1 對(i)的探究

下面只給出筆者認為最優的解法.

法1：分離參數法.

總結歸納:分離變量后,如直接求導非常麻煩，容易出錯.經過變形再求導就容易得多，難度自然會降低,從而增加正確率. 討論時應注意利用函數的單調性,結合零點存在性定理來處理.

法2：構造差函數法.

當00,則h(x)單調遞增;當x>1時,h′(x)<0,h(x)單調遞減.

2.2 對(ii)的探究

法1:三角換元法.

設a=rcosθ,b=rsinθ.代入方程得

故a2+b2>e.

總結歸納:此題中有正弦函數，可用三角換元，這也是常用方法,此法實用性強，計算容易.

法2:柯西不等式放縮法.

所以a2+b2>e成立.

總結歸納：此方法利用了柯西不等式以及ex≥1+x,ex≥ex進行放縮,比較便捷.也可使用均值不等式證明，但需注意其使用條件及合理性.

法3:距離法.

因而a2+b2>e得證.

總結歸納:此法轉換了思想，實用性強,計算也不難.

法4：反證法.

因此證得a2+b2>e成立.

總結歸納:反證法作為不等式證明的重要方法可以用,但證明過程并不簡單.此外在證明該結論時可以選取其他方法,如線性規劃等討論關系求解.

法5：拉格朗日乘數法(新法探究).

因為sin2x

故a2+b2>e成立.

3 結束語

導數是高中數學的重要內容，高考中導數題經常作為壓軸題出現，每個學生應根據自己的實際情況，平時加強一題多解的訓練，解答時找到適合自己的解法，快速達到完美結果.