講題比賽特等獎獲獎論文之三：2022年上海高考數學第12題解析

上海市西外外國語學校 朱大紅

1 壓軸題呈現

2 試題說明

3 解法分析及詳解

本題為壓軸題，考查抽象函數的定義域、值域，利用轉化化歸、數形結合等方法解決參數問題.依據思維導圖，有如下四種解法.

思路一：分拆定義域.

第一步：分拆定義域.[0,+∞)=[0,a]∪[a,+∞)，得到f(x)在[a,+∞)上的取值范圍為其值域的子集，即{y|y=f(x),x∈[a,+∞)}?Af.

思路一的思維導圖如圖1所示.

圖1

解法1：記f(x)在[a,b]上的取值范圍為f[a,b]，下同.

由[0,+∞)=[0,a]∪[a,+∞)，結合已知條件{y|y=f(x),x∈[0,a]}=Af，得

Af=f[0,+∞)=f[0,a].

則{y|y=f(x),x∈[a,+∞)}?Af，即

f[a,+∞)?Af.

思路二：數形結合.

思路二的思維導圖如圖2所示.

圖2

圖3

思路三：類比法.

思路三的思維導圖如圖4所示.

圖4

解法3：因為f(x)滿足

思路四：考慮臨界點.

思路四的思維導圖如圖5所示.

圖5

4 變式與拓展

問題對于該題，你是否能舉一個f(x)的例子？

思考：本題是否還有其他f(x)的例子？如果有，請嘗試給出表達式，并作進一步探究.