理解教材編寫意圖，重構思維深層參與的教學設計*
——以“余弦定理”為例

太原師范學院 王燕榮 王佳麗 陳 莉 閆喜紅

1 問題的提出

余弦定理是高中數學的重要內容，其定量刻畫了三角形邊角之間的關系.《普通高中數學課程標準(2020修訂版)》明確要求：借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理，能用余弦定理解決簡單的實際問題[1].其意在為向量的應用提供一個重要的載體，使學生進一步領悟向量法所蘊含的數學思想，掌握用向量運算解決幾何問題的基本要領和方法的同時，完善對三角形的認知結構[2].

在余弦定理具體的教學設計中，多數教師存在認識上的誤區和偏差.有些教師還是傾向于使用常規的證明方法，認為向量法只是附加品，“蜻蜓點水”說明即可；有些教師在原有證明方法的基礎上增加了向量法，關注定理證法的多樣化；還有些教師開門見山直接告知使用向量法證明，沒有采取積極合理的方式促使學生有意識地運用向量法去解決問題，未能感受到向量法的巨大力量，沒有凸顯出向量法的特點和優勢.

眾所周知，數學教材是實現數學課程目標、保證數學教學實施的重要資源，是教材編寫者集體智慧的結晶，體現了他們對數學及數學教學的認識、理解及價值取向.教師只有領悟和理解教材編寫者的意圖，學會創造性地加工和使用教材，才能避免陷入“完全脫離教材”和“照本宣科”的誤區.

基于此，筆者以2019年人教版A版高中數學必修二第六章第4.3節“余弦定理”為例進行了教學設計，旨在加深學生對高中教材平面向量內容的理解，體會向量法的自然性和合理性，提升運用向量解決問題的意識和能力，進而獲得良好的情感和認知體驗，促進思維的深層參與，發展數學核心素養.

2 促進思維深層參與的余弦定理教學設計

2019年人教A版高中數學教材以余弦定理和正弦定理的證明為載體，創造更多的機會培養學生用向量法解決幾何問題的意識，使學生切實感受到向量法解決問題的優勢，更好地掌握向量法，也為后面學習正弦定理提供了方法上的引導.

在學習余弦定理時，無論以哪種方式證明，盡量以產生式的方法進行，盡可能使學生了解定理的由來、剖析定理的結構、探尋定理的證明思路和方法、熟悉定理的應用，構建系統化知識結構網絡.

2.1 創設問題情境，引發學生學習需求

問題1大同市人杰地靈、風景優美，擁有許多馳名中外的名勝古跡，大同火山群是中國著名第四紀火山群.小明在寒假期間來到大同旅游，第一天他從大同火山群出發，向東偏南30°方向前進直線距離約4 km到達了閣老山.第二天計劃從大同火山群出發，向東偏南85°方向前進直線距離約8 km就可以到達大同火山國家地質公園(如圖1所示).小明改變了行程計劃，想直接從閣老山出發到大同火山國家地質公園，如何行進最為合理？

圖1 實際問題圖

設計意圖：從現實生活中的情境和學生已有的知識經驗出發，激發學生學習和探究的熱情，使學生經歷分析、歸納、反思、修正的認識過程，引發思維積極參與，積累數學活動的基本經驗.在此過程中教師不失時機地引導學生將生活問題數學化，發展數學抽象素養及分析和解決問題的能力，同時感受到家鄉的美麗，增強對家鄉的熱愛之情.

2.2 重視啟發質疑，探尋問題解決思路

問題2從閣老山B出發，只要求出BC的長度，一定能到達大同火山地質公園嗎？

學生有些困惑，認為只要求出線段BC就解決問題了.教師借助《幾何畫板》作圖，如圖2所示.

圖2 從閣老山行進BC長度的路線

學生觀察圖片可以發現，從閣老山B出發前進BC的長度能到達的地方有很多.

教師追問：僅僅通過求出兩點間的距離，為什么不能確定目的地？

學生根據圖2回答：因為方向不確定，還需要考慮前進的方向.

教師解釋道：方向非常重要，大家都聽過南轅北轍的故事吧！一旦方向錯誤，努力都是徒勞的.在這個問題中，既要考慮大小，又要關注方向，大家能想到什么？

學生馬上想到前面剛學過的向量——既有大小又有方向.

設計意圖：學生在思考過程中更多關注的是距離的遠近，不易直接想到從向量的視角來解決問題.教師的啟發引導和《幾何畫板》的動態展示，使學生感受到僅考慮距離(或路程)是不夠的，自然聯想到前面學習過的向量，激活解決問題思考的方向，提升思維的批判性和深刻性，潛移默化地讓學生懂得努力重要但方向更重要的道理.

2.3 加強合作交流，促發學生深度思考

問題3使用向量法，如何解決問題2？從圖3中能得到哪些信息？

圖3

=b2+c2-2bccosA.

同理可得

b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

教師繼續追問：長度問題已經解決了，方向呢?

設計意圖：利用平面向量的有關知識，以問題為載體，通過教師提問、追問等方式，引導學生獨立思考，探索并直觀感知銳角三角形中邊角之間的關系.抓住數學對象的本質特征，并體會向量法解決數學問題的優越性，增強運用向量法解決數學問題的意識，同時發展直觀想象、數學運算和邏輯推理素養.

2.4 證明余弦定理，提升數學認知水平

問題4在銳角三角形中運用向量法證明了a2=b2+c2-2bccosA，那么在一般三角形中，是否也能得到類似結論？

學生自然聯想到只需證明該結論在直角三角形和鈍角三角形中成立即可.

圖4

=b2+c2-2bccosA.

故a2=b2+c2-2bccosA.

圖5

=b2+c2-2bccosA.

故a2=b2+c2-2bccosA.

師生共同概括余弦定理，剖析定理的條件和結論，強調數學語言之間的轉化，并對定理變形，獲得其推論:

設計意圖：將問題從特殊情況推廣到一般情況，實現了知識和方法的正遷移.通過文字語言，符號語言和圖形語言的轉化，使學生從多個角度理解余弦定理，提升思維的深度.學生在整個學習過程中感悟到從特殊到一般、分類討論以及向量法的數學思想方法，體會到向量法的簡潔以及余弦定理結構的統一美，進而發展邏輯推理和數學運算素養.

2.5 應用余弦定理，解決數學相關問題

問題5你能幫助小明解決遇到的問題嗎？

由余弦定理，可以得到BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA.

由AB=4，AC=8，∠A=55°，得BC≈7.

故小明應從閣老山出發向西偏南59°前進7 km最快到達大同火山國家地質公園.

設計意圖：應用余弦定理解決問題情境中提出的問題1，使學生體會到余弦定理是源于現實問題的需要，不是從天而降的，體現余弦定理的應用價值.通過解決實際問題培養學生的數學運算核心素養.

2.6 構建知識縱橫聯系，形成知識結構網絡

問題6梳理本節課的學習過程，談談你有哪些收獲？

圖6

師生共同構建本節課知識結構網絡(如圖6)，促進學生知識的系統化.

設計意圖：數學學習是不斷形成新的數學認知結構的過程，良好的數學認知結構的形成是數學學習的關鍵.教師的主要任務是幫助學生建立知識間的縱橫聯系，構建數學知識的整體結構，促進學生數學認知結構的不斷完善，從而提升數學思維品質.

3 結論

數學教材為“教”與“學”活動提供了重要的資源.教師要深入挖掘教材立意，體會教材編寫者的意圖，精準把握課程標準的要求，只有這樣才能充分展示數學教材的引領和示范功效，從而創造性地使用教材，促進學生思維的深層發展及數學核心素養的落地.