核心知識(shí)為“基” 思想方法為“本”
——微專題觀摩課“二次函數(shù)中的線段最值問題”教學(xué)實(shí)踐與思考

陸春霞

(江蘇省南通市通州區(qū)平潮初級(jí)中學(xué),226361)

圍繞核心知識(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì)并圍繞重點(diǎn)內(nèi)容、關(guān)鍵能力進(jìn)行適度拓展和方法研究的微專題教學(xué),能有效加深學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的理解,貫穿前后知識(shí)間的聯(lián)系,形成脈絡(luò)清晰的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.而蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法,作為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓,是提高學(xué)生思維品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生智力的關(guān)鍵所在,也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵之一[1].《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》提出要讓學(xué)生“經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程”、“形成重依據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì),培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神”[2]. 筆者在對(duì)外公開教學(xué)活動(dòng)中的微專題觀摩課“二次函數(shù)中的線段最值問題”圍繞“核心知識(shí)為基、思想方法為本”開展教學(xué),引領(lǐng)學(xué)生在主動(dòng)探究獲取知識(shí)的同時(shí)感悟其蘊(yùn)含的深刻的數(shù)學(xué)思想,有效促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展,涵養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng);在有效減輕學(xué)生過重課業(yè)負(fù)擔(dān)方面取得了很好的效果,受到了與會(huì)專家和老師們的高度好評(píng).現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計(jì)整理如下,供大家參考.

一、設(shè)計(jì)思路

二次函數(shù)中的線段最值問題,作為初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)——二次函數(shù)為載體的一類綜合問題. 由于初中階段不涉及平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式,故對(duì)于斜線段長的問題,如果通過構(gòu)造直角三角形利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算,由于本身含有參數(shù),往往過程紛繁復(fù)雜,運(yùn)算量大,學(xué)生難以為繼.而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)通過化斜為直實(shí)現(xiàn)斜線段轉(zhuǎn)化為豎直(水平) 線段,通過相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算可實(shí)現(xiàn)快速簡便求解.

深刻掌握二次函數(shù)線段最值問題,不但能讓學(xué)生進(jìn)一步熟化二次函數(shù)性質(zhì)、最值等核心知識(shí)點(diǎn),凝練數(shù)形結(jié)合(利用線段、二次函數(shù)等圖形特征)和化歸(化斜為直)的數(shù)學(xué)思想方法,更能讓學(xué)生切身感悟到知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的解決問題的目標(biāo)意識(shí),有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與靈活性,提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.

基于上述思考,筆者將本節(jié)微專題課教學(xué)目標(biāo)確立為:理解并掌握在二次函數(shù)背景下的線段最值問題的研究方法;在解決問題的過程中體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)形結(jié)合及化歸的數(shù)學(xué)思想方法;讓學(xué)生自發(fā)形成建立模型解決最值問題的意識(shí).構(gòu)建模型作為本節(jié)課的重點(diǎn),而線段間的轉(zhuǎn)化及線段長與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化則是本節(jié)課的難點(diǎn).

二、教學(xué)預(yù)設(shè)

1.新課導(dǎo)入

問題1(口答)已知二次函數(shù)y=-x2+4x,當(dāng)x=______時(shí),函數(shù)值有最______(填“大”或“小”)值,其值為______.

追問:如果y=ax2+bx+c(a≠0),結(jié)果又如何?

問題2(口答)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,y2),若線段AB平行于y軸,則線段AB的長度是多少?

追問:如果線段AB平行于x軸呢?

設(shè)計(jì)意圖通過兩道基礎(chǔ)性的口答題及追問設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生簡要回顧二次函數(shù)最值的性質(zhì)和豎直、水平線段長的坐標(biāo)表示(引導(dǎo)學(xué)生通過畫草圖獲得直觀感受),讓學(xué)生體會(huì)考察問題要全面周到,為新課奠定知識(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和發(fā)散性.

問題3如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(1,3),B(2,2),求?OAB的面積.

讓學(xué)生先獨(dú)立思考,教師適當(dāng)點(diǎn)撥,大致形成以下兩種解題探究思路.小組討論后請(qǐng)代表上講臺(tái)展示.

設(shè)計(jì)意圖在復(fù)習(xí)豎直(水平)線段長的坐標(biāo)公式基礎(chǔ)上,通過一個(gè)三角形面積問題,引發(fā)學(xué)生思考將三角形進(jìn)行“割補(bǔ)”,化斜為直達(dá)到求解目的,同時(shí)也為后續(xù)例題打下伏筆.教師通過適時(shí)追問,不斷激活學(xué)生思維,引發(fā)學(xué)生從不同角度、不同方向思考問題,提升學(xué)生思維的靈活性、廣闊性.

2.例題探究

讓學(xué)生獨(dú)立思考片刻后請(qǐng)學(xué)生回答.

變式拓展1如圖5,通過過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交直線AC于N點(diǎn),求線段PN的最大值.

探究思路2將水平線段轉(zhuǎn)化為豎直線段.如圖6,過點(diǎn)P作PQ∥y軸交AC于點(diǎn)Q.顯然PN=PQ·tan∠PQN.又∵PQ∥y軸,∴ ∠PQN=∠ACO,得PN=PQ·tan∠ACO.

設(shè)計(jì)意圖例題及其變式1遵循循序漸進(jìn)的原則,難度由簡單到復(fù)雜呈梯度爬升.由豎直線段入手,讓學(xué)生通過嚴(yán)密計(jì)算與論證將水平線段、斜線段轉(zhuǎn)化為豎直線段問題,從而將上述含參最值問題最終歸結(jié)于豎直線段長的最值模型.

變式拓展2如圖6,記PQ交x軸于點(diǎn)D,作PH⊥AC于點(diǎn)H,求?PQH周長的最大值.

探究思路將三角形的周長問題轉(zhuǎn)化為豎直線段來解.PH=PQ·sin∠ACO,QH=PQ·cos∠ACO, ∴C?PQH=PQ+PH+QH=PQ(1+sin∠ACO+cos∠ACO).由于?AOC是確定的且為直角三角形,所以∠ACO的正弦值和余弦值都是確定值,故問題轉(zhuǎn)化為求豎直線段PQ的最大值.

變式拓展3如圖7,連結(jié)PA，PC,你能求出?PAC面積的最大值嗎?

設(shè)計(jì)意圖將問題在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行二次拓展,讓學(xué)生通過分析發(fā)現(xiàn)求二次函數(shù)圖象中有關(guān)周長、面積最值問題最終一般都可以轉(zhuǎn)化為求豎直(水平)線段的最值問題模型.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)和轉(zhuǎn)化思想,提升學(xué)生的歸納總結(jié)能力和敏捷捕捉數(shù)學(xué)信息的能力.同時(shí),注意引導(dǎo)學(xué)生注重基礎(chǔ)知識(shí)的融會(huì)貫通,敢思考,會(huì)思考,學(xué)會(huì)對(duì)問題進(jìn)行比較、提煉、反思,總結(jié)解決此類問題的通用方法.

三、教學(xué)反思

在當(dāng)前“雙減”的背景下,如何有效減輕學(xué)生過重課業(yè)負(fù)擔(dān)的同時(shí)提升教學(xué)效果,是擺在我們一線教師面前亟待解決的現(xiàn)實(shí)問題.因此,在教學(xué)中要盡可能壓縮題目數(shù)量,同時(shí)讓每一道題都盡可能發(fā)揮出它的功效.在備課時(shí)要對(duì)題目進(jìn)行精心考量,考量每道題的設(shè)置目的和其包含的核心知識(shí)點(diǎn)、涉及的思想方法以及學(xué)生可能出現(xiàn)的問題等.本節(jié)課在通過三個(gè)小問題回顧相關(guān)核心知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上,只選用了1個(gè)例題.通過對(duì)例題及變式拓展探究,引領(lǐng)學(xué)生思維層層深入,能夠?qū)⑴c之相關(guān)的線段、三角形周長及面積等一系列最值問題統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為豎直(水平)線段來求解,讓學(xué)生會(huì)一題,通一類,真正達(dá)到了舉一反三、觸類旁通之效.

數(shù)學(xué)核心知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的“主心骨”,而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)內(nèi)容的體現(xiàn),是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)思想和普遍適用的方法,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)大有裨益.因此,以數(shù)學(xué)核心知識(shí)作為載體,數(shù)學(xué)思想方法為根本開展教學(xué),能有效提升學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).