分類例說“角含半角”模型及其相應(yīng)結(jié)論

張秘芳 王政揚(yáng)

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,650500)

所謂“角含半角”模型，是指在一個(gè)平面圖形中,一個(gè)角與另一角共頂點(diǎn),且該角的大小是另一個(gè)角大小的一半.“角含半角”模型是初中平面幾何中最常見的一種模型之一.通常利用“旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)”看待圖形的幾何變化,即將這個(gè)半角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)或通過截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法,使得兩個(gè)分散的角變換成為一個(gè)三角形,這又相當(dāng)于構(gòu)造出兩個(gè)三角形全等或相似.

類型1:90°角含45°角

“90°角含45°角”主要包括兩種類型:一種是90°角內(nèi)有一個(gè)45°角，如果在正方形內(nèi)，可得基本結(jié)論EF=DF+BE(如圖1)；如果在等腰直角三角內(nèi),可得BD2+CE2=DE2(如圖2).

如圖1,四邊形ABCD為正方形，∠EAF=45°,AB=AC.將線段AF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AG，連結(jié)BG，根據(jù)已知條件可證得?AFE≌?AGE(SAS)，?ABG≌?ADF(HL)，即可得到GE=FE，BG=DF，即EF=DF+BE.

如圖2，∠BAC=90°，∠DAE=45°.將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連結(jié)DF，BF，根據(jù)已知條件可證得?AED≌?AFD(SAS),?AEC≌?AFB(SAS)，即可得到DE=DF，CE=BF，在Rt?BDF中，由勾股定理可得BD2+CE2=DE2.

另一種是90°角內(nèi)有一個(gè)45°角的一邊，在90°角外有45°角的另一邊，如果在正方形內(nèi),可得基本結(jié)論EF=DF-BE(如圖3)，如果在等腰直角三角內(nèi),可得BD2+CE2=DE2(如圖4).

如圖3,四邊形ABCD為正方形,∠EAF=45°.將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AG，根據(jù)已知條件可證得Rt?ABE≌Rt?ADG(HL)，從而可得?AEF≌?AGF(SAS)，即可得到BE=DG,EF=GF,即EF=DF-BE.如圖4，∠BAC=90°,∠DAE=45°,AB=AC,類似于如圖2的旋轉(zhuǎn)變換，即可得到BD2+CE2=DE2.

例1(黃石市2021年中考數(shù)學(xué)第18題)如圖5,在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=45°，線段AE交BD于點(diǎn)M，AF交BD于點(diǎn)N.

(1)若正方形的邊長(zhǎng)為2，則?CEF的周長(zhǎng)是______.

(2)下列結(jié)論:①BM2+DN2=MN2;②若F是CD的中點(diǎn)，tan∠AEF=2;③連結(jié)MF，則?AMF為等腰直角三角形.其中正確結(jié)論的序號(hào)是______(把你認(rèn)為所有正確的都填上).

分析(1)這是典型的90°角含45°角問題，由基本結(jié)論：EF=DF+BE，可得?CEF的周長(zhǎng)為4.

(2)通過旋轉(zhuǎn)變換,構(gòu)造三角形全等,可得① 正確.如圖5,將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，根據(jù)已知條件，可得：?BAM≌?DAH(SAS),

?MAN≌?HAN(SAS),∠HDN=90°,

即可得：BM2+DN2=MN2.

類型2120°角含60°角

120°角含60°主要包括兩種類型:一種是120°角內(nèi)有一個(gè)60°角，可得基本結(jié)論：EF=CE+BF(如圖6)：另一種是120°角內(nèi)有一個(gè)60°角的一邊，在120°角外有60°角的另一邊，可得基本結(jié)論EF=BF-CE(如圖7).

如圖6，AC=AB，∠CAB=120°，∠EAF=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，DB上.將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AG，連結(jié)BG，根據(jù)已知條件可證得?AEF≌?AGF(SAS),?AEC≌?AGB(SAS)，即可得到GF=EF，CE=BG，即EF=CE+BF.

如圖7，AC=AB，∠CAB=120°,∠EAF=60°,將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AG，根據(jù)已知條件可證得?AEC≌?AGB(SAS)，進(jìn)而可證得?AEF≌?AGF(SAS),即可得到GB=EC，EF=GF，即EF=BF-CE.

例2已知點(diǎn)P是∠MAN的角平分線上的一點(diǎn),PB⊥AM，垂足為點(diǎn)B，PC⊥AN，垂足為點(diǎn)C.

(2)如圖9所示,若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上,則DE，BD，CE三者的數(shù)量關(guān)系有變換嗎?若有變化,請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

分析(1)由已知,可知點(diǎn)P是角平分線上的點(diǎn),且PB⊥AM，垂足為B，PC⊥AN，垂足為C，可得PB=PC，若在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使得CF=BD,則?PBD≌?PCF(SAS)，然后再證明?PDE≌?PFE(SAS)，可得出結(jié)論.

(2)參考第(1)問的作圖法,可得結(jié)論DE=CE-BD.

與前面的做法相類似,通過旋轉(zhuǎn)變換來構(gòu)造三角形全等,即可得到基本結(jié)論.

本文運(yùn)用從特殊到一般的敘述方式,逐步得到“角含半角”模型應(yīng)具備的條件,并得到了一般性的結(jié)論.學(xué)生在平時(shí)的解題訓(xùn)練中,可由教師適當(dāng)引導(dǎo),幫助他們達(dá)成理解性的記憶.熟練掌握“角含半角”基本模型及一般性結(jié)論,可以大大提高解題效率.