增加代數(shù)推理 強(qiáng)化幾何直觀*
——以“建系”方法解決平面幾何問題為例

趙嘉誠

(江蘇省南通市海門區(qū)首開東洲初級中學(xué)，226100)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，初中階段圖形與幾何領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”.其中“圖形與坐標(biāo)”強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，用代數(shù)方法研究圖形，在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示圖形上點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)法分析和解決實(shí)際問題[1].

作圖是研究函數(shù)問題至關(guān)重要的一步[2]，反過來從函數(shù)的角度去研究幾何問題也是至關(guān)重要的.初中階段的幾何題大多是以矩形、正方形和直角三角形等為背景，而這些幾何圖形都有直角存在，所以可以將其放置在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，從而做到幾何問題代數(shù)化.這種“建系”方法既增加了代數(shù)推理，又增強(qiáng)了幾何直觀，達(dá)到數(shù)與形的完美統(tǒng)一.

一、“建系”題目呈現(xiàn)及解法分析

例1如圖1矩形ABCD，AD=2，BC=10，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AE=AB，點(diǎn)F從點(diǎn)E出發(fā)，向終點(diǎn)D運(yùn)動，速度為1cm/s，以BF為斜邊在BF上方作等腰直角?BFG，以BG，BF為鄰邊作BFHG,連結(jié)AG.設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動時間為t秒.

(1)試說明:?ABG∽?EBF;

(2)當(dāng)點(diǎn)H落在直線CD上時，求t的值；

(3)點(diǎn)F從E運(yùn)動到D的過程中，直接寫出HC的最小值.

問題分析

第(1)問比較簡單，略去解答.針對后兩問建立如圖2所示平面直角坐標(biāo)系后發(fā)現(xiàn)第(2)問點(diǎn)H落在直線CD上，等價于點(diǎn)H的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C一致，第(3)問要求HC的最小值，可以根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式來解決，所以這道題目的關(guān)鍵就是求出點(diǎn)H的坐標(biāo).

點(diǎn)H是以BG，BF為鄰邊作BFHG所產(chǎn)生的，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，點(diǎn)O到點(diǎn)F的運(yùn)動過程與點(diǎn)G到點(diǎn)H的運(yùn)動過程是一致的，要求出點(diǎn)H的坐標(biāo)也就轉(zhuǎn)化成求出點(diǎn)G的坐標(biāo).要求一個點(diǎn)的坐標(biāo)自然而然就會聯(lián)想到往兩坐標(biāo)軸作垂線，再結(jié)合點(diǎn)G作為等腰直角?BFG的頂點(diǎn)這一條件,很快就會得出“一線三等角”模型得到?BMG≌?GNF.進(jìn)而用含有t的代數(shù)式表示點(diǎn)G坐標(biāo).

問題解答

(2)過點(diǎn)G作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作x軸的垂線交MG于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)G(m,n)，由題可知F(t+2,2),A(0,2),C(10,0).

∵?BFG是等腰直角三角形，

∴BG=GB,∠BGF=90°.

∵M(jìn)N⊥y軸，

∴∠GBM+∠MGB=90°.

∵∠MGB+∠NGF=90°,

∴∠GBM=∠NGF.

在?BMG和?GNF中

∴?BMG≌?GNF.

∴NF=MG=m,GN=MB=n.

∵M(jìn)G+GN=AF,MB-MA=AB,

∵點(diǎn)F在線段ED上移動，

∴0≤t≤8.

例2(2021年無錫中考28題)已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E是射線BC上的動點(diǎn)，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，設(shè)BE=m.

(1)如圖3，若點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動，EF交CD于點(diǎn)P，AF交CD于點(diǎn)Q，連結(jié)CF.

②在?PQE中，設(shè)邊QE上的高為h,請用含m的代數(shù)式表示h,并求h的最大值.

(2)如圖5，設(shè)過BC中點(diǎn)且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長為y,請直接寫出y與m之間的表達(dá)式.

問題解答

(1)②建立如圖4所示平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)P作PH⊥EQ，過點(diǎn)F作FK⊥x軸，由題可知A(0，1)，E(m,0),F(m+1,m).

∴l(xiāng)BF:y=mx-m2,

在直線EF上，當(dāng)x=1時，y=m-m2,即P(1,m-m2);

∵tan∠FEC=kEF=m,

∴∠QEC=2∠FEC，

即EF是∠QEC的角平分線.

∴h=PH=PC=m-m2

∵m≥0,

按照鄉(xiāng)村司法理論，在鄉(xiāng)村法治中承擔(dān)一定司法功能的組織大體可納入鄉(xiāng)村司法的范疇，其中大致可分為基層法官的司法和鄉(xiāng)村干部的司法[32]。鄉(xiāng)土正義的供給體系主要是指，能夠?yàn)榇迕裰鲝堗l(xiāng)土利益促進(jìn)糾紛解決的社會控制層級系統(tǒng)，大體包含內(nèi)生自發(fā)型、內(nèi)生體制型和基層官僚型三種類型，分別對應(yīng)的糾紛解決主體是民間權(quán)威、村干部和國家機(jī)關(guān)[13]。

綜上所述

(1)若t=1，求?PQE的面積；

(2)若M是PQ的中點(diǎn)，連結(jié)ME，求線段ME的最小長度；

(3)若?PQE是直角三角形，求t的值.

問題解答

因第(2)問解法與上面例子類似，筆者不再贅述.

(3)∵E(4,6),P(0,6-2t),Q(4t,0),

當(dāng)t=1時，直線EQ斜率不存在，此時?PQE不是直角三角形.

當(dāng)∠EPQ=90°時，

當(dāng)∠PEQ=90°時，

∴t=4.

∴無解.

綜上所述t=4.

二、“建系”解題關(guān)鍵點(diǎn)

1.學(xué)會從“數(shù)”和“形”兩個角度研究幾何

幾何解題往往離不開數(shù)形結(jié)合.數(shù)形結(jié)合首先需要學(xué)生對數(shù)學(xué)基本知識和基本技能有深刻的理解與認(rèn)識，進(jìn)而才能激活他們對數(shù)形結(jié)合產(chǎn)生深層次的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，然后真正使他們掌握數(shù)學(xué)結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想.

2.掌握一些基本解析幾何知識

在運(yùn)用“建系”這一方法的解題中，運(yùn)用到了兩點(diǎn)之間距離公式;兩直線垂直其斜率乘積為-1;“一線三等角”;直線斜率與正切值之間關(guān)系等知識點(diǎn).所以教師在平時教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生記憶并鞏固一些基礎(chǔ)解析幾何知識.

3.重視“建系”的方法

“建系”將幾何問題代數(shù)化是連接形與數(shù)之間的重要橋梁.日常教學(xué)中，教師要通過各種途徑和辦法使學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中體會到“建系”這一方法的簡便性，還能從直觀的幾何圖形中體會到代數(shù)推理的重要性.