立足“三個理解” 促進“四能”發展
——以“垂徑定理”的教學設計為例

趙紅琴

(江蘇省太倉市實驗中學,215400)

章建躍博士提出的“理解數學、理解學生、理解教學是課改的三大基石”引起了數學教師的廣泛共鳴,也為課堂教學改革提供了理論依據.好的教學設計就是要充分解讀教材,尊重學生的認知結構,采用恰當的探究活動去設置教學環節,充分發展學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.下面筆者以“垂徑定理(第一課時)”為例談談基于“三個理解”的教學設計.

一、“三個理解”理念下的“垂徑定理”的教學價值

1.高位理解數學,把握知識的生長點

理解數學,就是要求教師深度解讀教材、高位理解教材用意、溯本求源、把握知識的生長點,梳理清楚數學知識的系統性和邏輯結構.

垂徑定理是蘇科版九年級上冊的第二章的內容,是繼八年級下冊“中心對稱圖形平行四邊形”之后的幾何章節,也可以理解為對特殊的中心對稱圖形進一步的深入研究.垂徑定理是圓的軸對稱性的具體化結論,更是本章的重要性質,而這個定理揭示了滿足條件的直徑、弦、弧的相互關系，也是今后證明線段相等、角相等、弧相等以及線段垂直關系等內容的重要依據,又為圓內的計算、作圖等提供了依據和思路,而且在解決實際問題中也起到重要的作用.垂徑定理的教學目標是:感悟圓的軸對稱性,探索并證明垂徑定理,積累重要的幾何基本圖形和解題經驗.

2充分理解學生,遵循學生的需求

理解學生,就是要從學生角度理解知識,熟悉學生的思維階段、方式及特點,還要對學生的學習能力、已有的認知、學生的情緒狀態都應予以關注.

九年級的學生思維比較活躍,也具備了探究學習活動的經驗基礎.學生在學習垂徑定理之前已經掌握了軸對稱圖形的性質、圓的基本知識、勾股定理等,數學知識有了一定的積累,但對于圓里面的相關性質結論應用還比較陌生,探索過程與程序可能會有一點散亂.因此教師要明確本節課的重點和難點,重點就是垂徑定理的證明,難點是從較復雜圖形中或者生活實際中抽象出基本圖形,轉化為可以用垂徑定理解決的幾何問題.

3.深刻理解教學,符合教學的生長規律

理解教學,是指要遵循教學的生長規律,注重知識的生成過程,開展有深度、有價值的教學活動,使學生以主人翁的精神來參與活動，讓學生在獲得知識的同時，也使思維和情感及數學思想方法得到培育及提升.

隨著教改的推進,對幾何定理的教學早已不再是冷冰冰地給出“結論—證明—應用”的模式.本節課通過對垂徑定理的探究,讓學生經歷從感性到理性、從具體到抽象、由猜想到論證的過程,充分體驗數學類比、轉化、方程、建模等數學思想方法,努力發展學生“四能”,培養學生的思維品質.

二、“三個理解”教學價值指引下的“垂徑定理”的教學設計

1.動手嘗試,創設情境,發現問題

活動1 一張圓形紙片,大家有沒有辦法找到圓心?

設計意圖創設了簡單易操作的問題情境,觸動學生動手的愿望,激活探究興趣.學生通過兩次折紙找圓心,可進一步讓學生在紙片上畫出圓心(圖1).基于小學對圓的初步認識,學生會將結論進行一定的描述,也會對描述相互的補充和更正.可歸納整理得出:圓是軸對稱圖形,過圓心的任意一條直線都是圓的對稱軸,圓有無數條對稱軸.

2.抽象轉化,猜想歸納,提出問題

活動2 在上面圖中任意畫一條弦(圖2),上圖還是軸對稱圖形嗎?對稱軸是什么?

設計意圖在活動1的基礎上學生可以繼續折紙,再用文字語言來描述這條折痕,可以把學生所描述的關鍵詞寫在黑板上,進一步讓學生在紙上畫出折痕,通過這樣一個過程,將實驗操作抽象為幾何圖形的翻折變換(圖3),加深對圓的軸對稱性的理解,培養了學生的抽象能力.

(1)啟發探究:這是具有特殊位置的兩條弦,必然會有一些特殊的結論,你能發現嗎?

設計意圖設置了一個開放性的問題,在具有特殊位置兩條弦的條件下,引導學生去猜想、探索和發現線段之間、弧之間存在的關系.讓學生寫在黑板上,并啟發學生判斷以上各猜想是否正確.

3.分析問題,探究本質,推理證明

(1)證明猜想

設計意圖引導學生從不同的角度來分析，進一步證實猜想.一方面可以用圓的軸對稱性,用圖形運動的方法,沿直徑翻折,使兩個半圓重合,相對應的點、線段、弧重合來解釋;另一方面可以利用等腰三角形性質或者全等三角形進行推理證明.教師可以和學生一起,結合圖形,書寫證明過程.

(2)描述定理

設計意圖幾何教學中,對圖形用文字語言、符號語言描述可以有效地培養學生的概括性以及表達能力,讓學生進一步體會數形結合的思想以及數學語言的簡潔美.

(3)用垂徑定理對圓的軸對稱性加以解釋

設計意圖溯本求源,構建知識間的本質聯系,增加知識的系統性和一致性.垂徑定理是圓的軸對稱性的具體化體現,垂徑定理的證明過程也可以來解釋圓的軸對稱性,進一步體現了知識的相互關聯.

(4)根據圖4—7的標注,是否可以根據垂徑定理找到相等的線段或相等的弧?

設計意圖一方面鞏固加深對定理的理解,對直徑變形為“過圓心”有了體會,同時讓學生熟悉圖形,為下面進一步解決相關問題做準備.

4.強化建模,關聯呼應,解決問題

例題1如圖8，已知在⊙O中,弦AB的長為24cm,圓心O到AB的距離為5cm,則⊙O的半徑=______.

變式如圖9,一條公路的轉彎處是一段圓弧(圖中的弧ACB),點O是這段弧的圓心,C是AB上一點,OC⊥AB,垂足為D,AB=600m,CD=100m,求這段彎路的半徑.

設計意圖設置了一個典型的基礎題,鼓勵不同層次的學生一起參與課堂活動,引導學生添加輔助線,經歷構建數學模型的過程.變式題是生活實際問題,輔助線多,構圖要求高.這樣的設計由淺入深,提煉出垂徑定理的基本模型,一起分析歸納模型的結構特征:一個圖形(直角三角形)、兩條輔助線(弦心距和半徑)、四個量(半徑、弦、弦心距和弓高)之間的關系.這樣的整理和思考能有效地提高學生對圖形的分析認識能力,也可以鼓勵學生自己編題訓練.

例題2如圖10:已知在圓O中,AB，CD兩弦互相垂直于點P,CP=6,DP=2,圓心O到CD的距離為3.則圓O半徑為______，圓心O到AB的距離為______，弦AB長______.

變式如圖11,CD為圓O的直徑,弦AB交CD于E, ∠CEB=30°,DE=6,CE=2,求弦AB的長.

設計意圖例2可看成是將例1圖形中的弦的平移,變式題也可以看成是對例1圖形一般化,逐步增加題目難度,啟發學生思考，加深對基本模型的認識,構建知識間的關系，體現數學中的特殊到一般的思想,讓學生經歷圖形的一種動態的變化,使他們能多角度、多層次地理解定理.

例題3求證:平行弦所夾的弧相等.

變式已知⊙O的半徑為10cm,⊙O的弦AB∥CD且AB=12cm,CD=16cm,在圖12中畫出弦CD,則兩弦之間的距離是______.

設計意圖例3是以前教材作為垂徑定理的一個推論,現在是作為一個問題提出,也可以理解為是圓中兩條弦的另一種特殊位置平行時的性質;設置為一個證明題可以培養學生的邏輯思維能力,也可以鍛煉學生證明書寫能力.例3的變式題對學生能力要求變高,滲透了分類討論思想,作輔助線的難度也增加,讓學生在動手操作中體會,進一步加深對基本模型的理解.

5.圖形小結,歸納梳理,反思深化

設計意圖利用結構圖形的形式總結本節課的主要內容,形象直觀.既是對本節課模型的整理、對數學思想的整理,也是對圖形關聯關系的整理.縱然圖形可以變化,但解決問題的思想方法可以融會貫通.同時還可以引導學生歸納垂徑定理的主要用處:① 在圓中進行計算;② 證明線段相等;③ 證明弧相等;④ 找到弧的中點等.

三、教學反思

1.構建教學環節的關聯呼應,促進學生思維生長

基于對教學內容的深度理解,精準把握知識點間的邏輯關系,教學環節設計關聯呼應,可以幫助學生更好理解新知,促進學生邏輯思維的培養和發展.本設計在活動1和活動2動手操作,安排了活動的呼應;在證明垂徑定理后,反過來對圓的軸對稱性進行推理證明,是知識點間的呼應;證明定理后的練習和例2的變式題,是圖形的呼應;最后設置圖形導圖對本節課進行小結,是對整節課的主要結論、圖形變化、思想方法的整體呼應.這樣的關聯呼應,使整個設計環環相扣,思路清晰,邏輯一以貫之.

2.注重例、習題間的自然過度,轉變學生數學學習方式

例、習題的巧妙選擇不僅是對知識的應用和鞏固,更可以促進學生學習方式的優化和學習水平的提高.垂徑定理的應用對運算和推理都有要求.因此本節課通過圖形的運動對例、習題進行變式,是為了三個環節——由基本的運算到推理,到解決實際問題;由基本圖形到兩弦垂直、相交、平行;從簡單到復雜、從特殊到一般——平滑自然過渡.學生出于自主探究的學習狀態,在同一模型、不同形式的題目探究中既升華了知識,又促進了知識點的正向遷移.

3.加強數學思想方法的滲透,培育學生數學核心素養

本節課引導學生構建了垂徑定理基本模型,把復雜的問題理想化和簡單化.因此平時教學中，教師要對教材自然加工,靈活構建,滲透數學思想,多層次、全方位地培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力,促進學生數學核心素養的形成.