函數思想在高中數學中的應用

安徽 石 舢

函數是高中數學中的一大主線，函數思想在非函數章節中有著廣泛的應用，利用函數思想解決相關問題有時會輕松很多.本文介紹了函數思想在高中數學中部分內容上的應用，以期幫助學生巧妙地解決相關數學問題.

1.在不等式中的應用

函數思想在不等式中有著廣泛的應用，除了在求不等式解集上的應用外，在不等式恒成立問題中也有著重要體現，而恒成立問題一般是求參數的取值范圍，在試題中分兩種情況存在：在R上求參數取值范圍和在給定區間上求參數取值范圍，不妨先分析前一種情況，如例1.

【例1】若不等式kx2+kx-1<0對一切實數x恒成立，則k的取值范圍為.

【分析】我們不妨令f(x)=kx2+kx-1，那么問題轉化為對?x∈R,都有f(x)<0，求k的取值范圍.此時，函數f(x)較為簡單，學生并不陌生，可直接對f(x)進行考查，這時我們需要對k進行分類討論，易知當k=0時滿足題意，當k≠0時，不等式中的恒成立問題便是直接對二次函數進行考查了，我們只需要確保二次函數圖象開口向下且與x軸沒有交點即可，像這樣的不等式恒成立問題，我們利用到了分類討論思想、函數思想和數形結合思想很容易求解.

【分析】有時我們考查的函數較為復雜，亦或是由于含有參數的原因，需要分類討論的情況較多，這時直接構造函數進行分析時可能較為煩瑣，如果參數可分離，將剩余部分看成一個整體，設成相應函數，再進行分析，可能會有意想不到的效果.下面看看用該方法解例1.

(1)當x2+x=0時，k∈R.

【分析】在例1中，我們發現方法2比方法1較為煩瑣，其原因在于x2+x的符號需要進行討論，倘若對于kf(x)>a(a≠0)，知道f(x)的符號，那么采用方法2較為容易，而這種情況在給定區間上求參數取值范圍較為常見，因為區間給定，f(x)的取值范圍就知道了，不妨看看例2.

【解析】由(a-a2)x2+x-a+a2≤0?(a-a2)(x2-1)≤-x，

像上述不等式的問題，我們很容易聯想到函數，利用函數解決問題.

2.在比較大小中的應用

【例3】已知實數a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2，c-b=4-4a+a2，則a,b,c大小關系是( )

A.c≥b>aB.a>c≥b

C.c>b>aD.a>c>b

【分析】兩個實數大小的比較，可用作差法或是作商法.通過觀察發現b+c和c-b都是關于a的表達式，易聯想到作差法比較a,b,c的大小，且若b和c能夠表示成a的表達式，則可將a-b或b-a，c-b或b-c，a-c或c-a看成是關于a的函數，然后進行分析.

【解析】由題意可知，b+c=6-4a+3a2①；c-b=4-4a+a2②.

①-②得，b=a2+1，故b-a=a2-a+1(將b-a看成是關于a的二次函數，易知函數開口向上，且Δ=1-4<0)，故b-a>0，即b>a.

c-b=4-4a+a2=a2-4a+4(將c-b看成是關于a的二次函數，易知開口向上，且Δ=16-16=0)，故c-b≥0，即c≥b.

故c≥b>a，故選A.

【例4】已知a，b是實數,且e

在比較兩個實數大小中涉及函數思想問題，有時不易直接看出需要構造的函數，這時還需解題者具備一定的觀察能力、分析能力，通過化歸與轉化思想，然后構造出相應函數，從而解決問題.

3.在方程中的應用

方程與函數有著密不可分的聯系，在人教版必修第一冊(A版)中將一元二次函數、方程和不等式放在一起作為第二章內容，正是因為他們有著密切聯系，對解題有幫助，且對學生日后解決復雜方程問題提供重要的數學思想——函數思想.在方程中，經常遇到方程有根問題、零點問題，均可構造相應函數，通過考查函數的性態解決問題，如例5.

【例5】方程ex+3x=0實數解的個數是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【分析】直接解方程ex+3x=0顯得十分困難，或是當下無法求解，若利用化歸與轉化思想，將題目改成函數f(x)=ex+3x有幾個零點問題，即函數f(x)=ex+3x與x軸有幾個交點的問題，將方程問題轉化成函數問題，可能會有意想不到的收獲.

【解析】設f(x)=ex+3x，則f′(x)=ex+3>0，故f(x)在(-∞，+∞)上單調遞增，又因為當x→-∞時，f(x)<0，當x→+∞時，f(x)>0，所以f(x)在(-∞，+∞)上有且僅有一個零點，則方程ex+3x=0在R上有且僅有一個實數根，故選B.

函數在方程中的體現除了利用函數本身的特性解相關方程問題之外，函數的圖象也是一種十分重要的工具，有時我們需要借助函數的圖象來解方程問題，在試題中也是常見的，如例6.

【例6】設a，b分別是方程lnx+x-2=0和ex+x-2=0的根，則a+b的值為.

【分析】直接求出a，b的值顯然是無法辦到的，觀察發現兩個方程均有x-2這個式子，那么將兩個方程通過變形，得到lnx=2-x和ex=2-x，我們可構造三個函數：y=lnx，y=ex，y=2-x，并將它們的圖象畫出來，從圖象上分析問題是否會發現“新大陸”？

從例6中可以看出，函數圖象在解題中的重要作用，從圖象上分析問題、解決問題就比較輕松，在例5中，我們也可將題目轉化為函數y=ex與y=-3x有幾個交點？畫出草圖后，發現只有一個交點.

4.在向量中的應用

在向量中，經常遇到求最大值、最小值以及取值范圍的問題，有關最值或是取值范圍問題一定是題目中存在某一量在變動，顯然是直接對函數進行考查.在向量中能夠發現函數的影子，無非是將有關向量知識點融入到函數中對學生進行考查，其本質還是函數問題.

A.[-5,3] B.[-3,5]

C.[-6,4] D.[-4,6]