指向直觀想象素養階段性評價的區域備考探索
——以高考復習階段中的立體幾何題為例

湖北 周 威

1 基于立體幾何命題，聚焦直觀想象素養階段性評價

直觀想象是數學學科核心素養之一，《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱課標)對直觀想象素養的描述為借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.課標指出，數學學科核心素養的發展具有連續性和階段性.因此，高考復習備考需要關注核心素養的階段性發展和評價.在高考和各種模擬考試中,學生直觀想象素養的階段性評價可以從立體幾何試題的命題設計、考試結果以及問題的變式或一題多解等方面來體現，那么如何來呈現這種階段性發展和階段性評價呢？筆者以為，可以以高三復習備考中的一、二輪復習階段作為研究對象，分別以兩階段復習中的兩次區域聯考作為監測工具，首先從高考命題規律中把握必備知識、關鍵能力的考查要求；其次是確定學生的一輪復習階段現有水平以及經過一輪復習后學生可能達到的發展水平；最后是通過同類型必備知識的問題變式或一題多解，提升學生不同復習階段的直觀想象素養水平.因此，筆者接下來將從這一角度闡述直觀想象素養在一、二輪復習備考階段的發展和評價.

統計近幾年立體幾何大題考點不難發現,高考中的立體幾何解答題以學生所熟知的空間幾何體為載體，采用“證明+計算”的設問方式(即第(1)問主要考查點、線、面位置關系的證明，第(2)問考查空間角、體積的計算)，突出基礎知識，注重數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，對培養學生直觀想象素養有積極意義.因此，對于本屆高三的學生，兩次區域聯考立體幾何題都定位于19題位置，必備知識和關鍵能力可設置如下表，并都確定為數學探究問題.

表1 兩次區域聯考立體幾何題雙向細目表

2 基于四棱錐模型，體現兩輪復習階段直觀想象水平

四棱錐模型是高考中的常規模型，一般考查其底面為平行四邊形或為梯形的情形.因此，第一輪復習階段的區域聯考立體幾何題可以將四棱錐模型底面設置為梯形，第一問考查線面垂直的證明方法，定位基礎題；第二問考查是否存在點使得面面垂直的數學探究問題，定位常規而又不乏味的中檔題.第二輪復習階段的區域聯考可以將底面設置為平行四邊形，第一問考查面面垂直的證明方法，同樣定位基礎題；第二問考查面與面不垂直的情形下，已知二面角尋找點的位置的數學探究問題.因此，兩次區域聯考命題意圖類似、考點類似、證明或計算方法類似，可以更好地反映出學生兩輪復習階段的實際水平.

2.1 一輪復習階段學生直觀想象水平描述

【例1】(恩施州2022屆高三第一次質檢·19)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,AB=AD=PA=2CD=4，G為PD的中點.

(1)求證：AG⊥平面PCD;

(2)若點F為PB的中點，線段PC上是否存在一點H，使得平面GHF⊥平面PCD？若存在，請確定H的位置；若不存在，請說明理由.

解：(1)證明：因為PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD，所以PA⊥AB.

又AD⊥AB,DA∩PA=A，所以AB⊥平面PAD,

又AB∥CD,所以CD⊥平面PAD.

又AG?平面PAD,所以CD⊥AG.

又PA=AD,G為PD的中點，所以AG⊥PD,PD∩DC=D,所以AG⊥平面PCD.

(2)以A為坐標原點，AD,AB，AP所在直線建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0),C(4,2,0),P(0,0,4),F(0,2,2),G(2,0,2)，

設平面GHF的法向量為n=(x,y,z),

可取n=(2k-1,2k-1,3k-1)，

水平描述：此題均分3.9分，難度系數0.33，區分度0.74.從難度系數看，是屬于中檔偏難題.學生答題主要是通過向量坐標法.課標對“立體幾何”部分的學業要求為：能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關系和基本結果.能夠證明簡單的幾何命題(平行、垂直的性質定理)，并會進行簡單應用.與學業要求對比，出現的問題如下：首先，學生不能用符號語言準確表達線線關系、線面關系及面面關系;其次，應用中學生解決問題方法單一，計算能力較差，解決實際問題能力不足.因此，在以后的復習中注重符號語言的表達、書寫規范，要注重引導學生一題多解，從不同的角度分析問題，加強對學生“解決數學問題”能力的培養.

2.2 二輪復習階段學生直觀想象水平描述

【例2】(恩施州2022屆高三第二次質檢·19)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，兩點E，F分別為線段PB，BC上的動點.

(1)若E為線段PB的中點，求證：平面AEF⊥平面PBC；

解:(1)證明:由PA⊥底面ABCD，BC?平面ABC,可得PA⊥BC.又在正方形ABCD中，BC⊥AB，且PA∩AB=A，則BC⊥平面PAB.又AE?平面PAB，有BC⊥AE.

由PA=AB，E為PB中點，可得AE⊥PB.

又PB∩BC=B，則AE⊥平面PBC.又AE?平面AEF，從而平面AEF⊥平面PBC.

(2)如圖所示，以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，

取y=1，則x=-λ，z=1-λ，即n=(-λ,1,1-λ).

水平描述:此題區域均分4.9分，難度系數0.41，區分度0.7.從難度系數看，對于區域內學生來說，依然屬于中檔偏難題，第一問“幾何關系的證明”得分得到了提升，這說明一定程度上，學生對“幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化”理解增強，然而對比課標“學業要求”，出現的問題依然有：學生對垂直部分的判定定理和性質定理的轉化能力弱、長度關系的符號語言與點線面位置關系的圖形語言轉化能力不夠；第二問大部分學生都基本能采用向量坐標方法建立空間直角坐標系，運用合適的向量模型，將相對困難的邏輯推理問題轉化為向量運算來解決，直觀想象素養得到了提升，但依然計算能力差.這也說明直觀想象素養并不是孤立的，直觀想象素養的提升與邏輯推理、數學運算等素養密切相關.

與學生一輪復習階段直觀想象水平比較，區域均分有小幅度提升，針對歷年高考得分情況，進步是明顯的.出現的問題依然是數學符號語言的描述不夠嚴謹和準確；在數學運算方面，計算能力依然較差.這說明，在學生直觀想象水平發展的過程中，不僅要關注學生對知識技能掌握的程度，還要更多地關注學生的思維過程，判斷學生是否會用數學的眼光觀察世界，是否會用數學的思維思考世界，是否會用數學的語言表達世界.因此，以后的立體幾何復習階段，要加強將數學語言表達能力提升和數學運算能力提升融入到不同的解題策略當中.

2.3從不同解題策略提升直觀想象素養

立體幾何中常見的解法包括空間向量坐標法、基向量法、幾何法、補形法(融入立體幾何模型)、投影面積法等，除了空間向量坐標法，其他解法也能很好地考查空間想象能力，提升理性思維能力，這就是“一題多解”的好處.因此，解法的多樣性十分有助于提升學生直觀想象水平，既能展現學生數學學習過程中思維品質的形成過程，又體現了學生在具體的問題情境中，結合個人實際、靈活選擇方法、應用數學能力的過程.

如圖，作HH′⊥PA于點H′，QQ′⊥PA于點Q′.

【例2】解法2(幾何法)：設M為PB的中點，如圖所示，當E在線段PM上時，過PB的中點M作MH⊥EF，連接AH.易知AM⊥平面PBC，EF?平面PBC,可得AM⊥EF.又MH∩AM=M，則EF⊥平面AMH，從而可知∠AHM為平面AEF與平面PBC所成夾角.

綜上，可知F為BC的三分點.

【例2】解法3(投影面積法)：設M為PB的中點，如圖所示，當E在線段PM上時，連接AM與MF，易知AM⊥平面PBC，可得△MEF為△AEF在平面PBC中的投影.

設AB=1，BF=λBC=λ.

在△AEF中，

設θ為平面AEF與平面PBC的夾角，

3 結語