立足基礎 強化理解 突出變式 提升素養
——由2022年全國乙卷理科第21題引發的思考

安徽 張 剛

一、問題提出

2022年全國乙卷第21題是在國內疫情持續小范圍爆發的社會大環境以及新高考課程和評價體系改革持續推進的背景下命制的試題，試題體現出立足基礎知識，重視數學理解，強化靈活運用，考查核心素養，注重平穩過渡的命題原則.本題重點考查函數與導數的綜合應用，這類試題可以很好地考查基本函數求導的運算能力，函數與導數之間的轉化化歸思想，分類討論思想，較好地實現篩選功能，本文以全國乙卷理科第21題為例，對試題進行深入分析，希望能夠給我們的高考復習備考提供幫助.

二、原題呈現

已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

解析一：(1)當a=1時，f(x)=ln(1+x)+x·e-x，

所以f′(0)=1+1=2，

因為f(0)=0，

所以所求切線方程為y-0=2·(x-0)，即y=2x.

所以f(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上無零點，不符合題意.

令g(x)=ex+a(1-x2)，則g′(x)=ex-2ax，

g′(x)在(-1,+∞)上單調遞增，g′(-1)=e-1+2a，g′(0)=1，

(ⅱ)當g(0)<0，即a<-1時，存在x1,x2使f(x)在(-1,x1)，(x2,+∞)上單調遞增，在(x1,x2)上單調遞減.

因為f(0)=0，所以f(x1)>f(0)=0，

當x→-1時，f(x)<0，所以f(x)在(-1,x1)上存在一個零點，即f(x)在(-1,0)上存在一個零點，

因為f(0)=0，

當x→+∞時，f(x)>0，所以f(x)在(x2,+∞)上存在一個零點，即f(x)在(0，+∞)上存在一個零點.

綜上，a的取值范圍是(-∞,-1).

點評：本題主要考查曲線在某點處的切線方程、分類討論思想、零點存在問題等，考查的核心素養是邏輯推理、數學抽象、數學運算.解決此類問題的關鍵：一是會求基本函數f(x)的導函數，借助在切點處的導函數值即為斜率，利用點斜式即可求出切線方程；二是根據函數f(x)的結構特點，恰當地對參數a進行合理分類，討論判斷該區間有無零點存在，而局部構造合理的新函數，研究單調性是判斷零點存在的關鍵所在，對于隱零點問題，有時可考慮設而不求思想，繼續探究新函數的單調性，從而逼出參數的取值范圍，這也是難點所在.

三、試題探究

1.知識探源

最近5年(2018年-2022年)全國乙卷(含全國Ⅰ卷)理科函數與導數壓軸題的考查方向，列表如下

續表

從上表我們可以得出一些結論：(1)從命題變化的方向來看，試題方向更加明確,側重考查學生“四翼”，更加強化基礎知識扎實以及綜合性的融會貫通.(2)從考查的重點來看，試題越來越注重導數與不等式的交匯問題.例如，2018年、2019年、2021年均涉及考查極值點問題.2018年、2019年、2022年均涉及考查零點問題.2020年、2022年均涉及考查參數的取值范圍問題.(3)從設計的知識點來看，試題越來越綜合，強化關鍵能力的理解與運用，注重考查學生的創新意識與創新思維.例如，2018年到2022年大部分年份試題的第1問都是低起點、重基礎，第2問就加大思維考查難度，需要通過轉化化歸、分類討論、參變分離、構造新函數等思想與方法相結合，綜合處理數學問題.(4)2022年試題計算量較大也是一個很大地挑戰，未來高考數學試題將會持續保持這一趨勢，這也是國家人才戰略發展的必然要求.

3.解法探究

2022年全國乙卷第21題的第1問這里不再展開敘述.下面重點對第2問進行深入分析，普遍性的解法就是對參數進行恰當分類，再構造新函數判斷單調性，確定零點存在情況.借助新函數求導轉化為導函數在給定區間上的單調性的關鍵是如何恰當分類，這也是本題的難點所在.

基于以上理解，我們也可以先參變分離，再從二次求導(或數形結合)入手，解決此類問題.筆者經過思考分析，給出如下解法.

解析二：參變分離，二次求導法

令g(x)=exln(x+1)+ax=exf(x)(x>-1)，

于是g(x)在(0，+∞)上單調遞增，g(x)>g(0)=0與g(x)在(0，+∞)上有一個零點矛盾.

(2)若a<-1，

g′(x0)

存在x1∈(-1,x0)，x2∈(0,-a)，使得g′(x1)

解析三：參變分離，數形結合法

令exf(x)=0?-ax=exln(1+x)，

令y=-ax，h(x)=exln(1+x)，

當-10時，l′(x)>0，

從而l(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增，而l(0)=1，所以h′(x)>0，從而h(x)在(-1,0)和(0，+∞)上單調遞增，而h′(0)=1也就是h(x)在原點處的切線斜率，又y=-ax過原點，可知需-a>0；又知x=-1是h(x)圖象的一條漸近線，所以在(-1,0)內h(x)遞增時一定是上凸的，又在(0，+∞)內，當x→+∞，h(x)=exln(1+x)>ex，所以此時h(x)是下凹的；要使f(x)在區間(-1,0)，(0，+∞)上各恰有一個零點，此時只需-a>1，即a<-1即為所求.

點評：第(2)小問屬于函數零點分布中求參數的范圍問題.通常把參數a合理分類，然后對原函數求導后，在局部構造新函數二次求導，判斷其單調性，根據區間零點存在，確定參數a的取值范圍.解法二借助一次求導確定g(x)在(0，+∞)上的單調性，再局部構造h(x)判斷其在(-1,+∞)上的單調性，利用虛設零點原理證明存在.而解法三則是通過數形結合思想分別構造函數y=-ax，h(x)=exln(1+x)，求導判斷導函數的單調性，借助h(x)與y=-ax的位置，確定函數圖象的凸凹性，從而根據零點分布區間，求出a的取值范圍.

4.變式跟蹤及簡評

4.1所求問題由“雙區間、雙零點”型弱化為“單區間、單零點”型

如果我們將2022年全國乙卷理科第21題的第(2)小問題干條件進行弱化變式，降低思維考查的難度，比如，將所求問題由“雙區間、雙零點”型變為“單區間、單零點”型，雖然所求區間和零點個數減少了，但本質不變，我們仍然可以根據函數f(x)的結構特點，求導后局部合理構造新函數，可繼續考慮設而不求思想，探究新函數的單調性，結合零點存在的區間，從而逼出參數的取值范圍，只要注意把握好對參數a的分界，問題不難獲得求解，這里略舉一例說明.

【例1】(2022·福州高中畢業班質量檢測)已知函數f(x)=ex-axsinx-bx+c的圖象與x軸相切于原點.

(1)求b，c的值；

(2)若f(x)在(0，π)上有唯一零點，求實數a的取值范圍.

解析：(1)b=1,c=-1.

(2)由(1)得f′(x)=ex-a(sinx+xcosx)-1，

記g(x)=ex-a(sinx+xcosx)-1，

則g′(x)=ex-a(2cosx-xsinx)，所以g′(0)=1-2a.

因為g(0)=0，g(π)=eπ+aπ-1>0，所以g(x0)<0，所以存在唯一實數x1∈(x0,π)，使得g(x1)=0，所以當x∈(0,x1)時，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)單調遞減.

因為f(0)=0，f(π)=eπ-π-1>0，所以f(x1)<0，所以存在唯一實數x2∈(x1,π)，使得f(x2)=0，即f(x)在(0，π)上有唯一零點，符合題意.

點評:第(2)小問屬于函數零點分布中求參數范圍問題，通常構造新函數研究其單調性，并且合理對參數a的分界.在二次求導的基礎上，借助虛設零點原理確定導函數的單調性，最后求出導函數的最小值即可，而如何準確確定參數a的分界點是問題的關鍵.

4.2所求問題由“雙區間、雙零點”型變式為“不限區間、單零點”型

如果我們將2022年全國乙卷理科第21題的題干再作一些變式，比如，將所求問題由“雙區間、雙零點”型變式為“不限區間、單零點”型.雖然表達式的結構更復雜，但本質不變，我們仍可以運用參變分離，二次求導法解決,但是需要注意的是參變分離后，構造的新函數要根據新函數的局部結構，再構造新函數，進而二次求導，這也是突出對學生變式問題的強化理解，學生高階思維水平的展現.下面也略舉一例說明此情況.

【例2】(2022·南京市、鹽城市高三二模改編)設函數f(x)=aex+sinx-3x-2，e為自然對數的底數，a∈R.若函數f(x)有唯一的零點，求a的取值范圍.

解析：當a≤0時，f′(x)=aex+cosx-3<0，所以f(x)單調遞減，又當x→-∞時，f(x)→+∞，當x→+∞時，f(x)→-∞，所以存在唯一的x0∈R，使得f(x0)=0，即函數f(x)有唯一的零點.

設h(x)=cosx-sinx+3x-1，則h′(x)=-sinx-cosx+3>0，所以h(x)單調遞增，又h(0)=0，所以可以列表為

x-∞,0()0(0,+∞)h(x)-0+g′(x)-0+

所以g(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增，又x→-∞時，g(x)→+∞，當x→+∞時，g(x)→a，且a>0，所以若g(x)有唯一零點，則g(x)min=g(0)=a-2=0，解得a=2.綜上，a的取值范圍為(-∞,0]∪{2}.

4.3所求問題由“雙區間、雙零點”型強化為“不限區間、雙零點”型

如果我們將2022年全國乙卷理科第21題的題干再強化一下變式.比如，將所求問題由“雙區間、雙零點”型變式為“不限區間、雙零點”型.雖然所求零點區間不限，但本質不變，我們仍可以運用參變分離，數形結合法解決,但是需要注意的是參變分離后，構造新函數需要考慮函數圖象的交點位置，借助零點滿足的條件，得出a的取值范圍，下面通過實例說明.

【例3】(2020·華南師大附中高三月考改編)設函數g(x)=(x-1)ex+ax2,a∈R.

若函數g(x)有兩個零點，試求a的取值范圍.

當x>0時，h′(x)<0，函數h(x)單調遞減；當x<0時，h′(x)>0，函數h(x)單調遞增，故由h(x)的圖象可知，若有兩個交點，則a的取值范圍為(0，+∞).

點評：本題仍是利用先參變分離，構造含參數a的新函數，借助研究新函數h(x)的單調性，通過圖象交點位置，確定參數a的范圍，數形結合法最直觀.

四、教學思考

1.立足學生基礎，強化數學理解

《普通高中數學課程標準(2017版2020年修訂)》指出：“數學抽象是指對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究的素養.邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養.”數學基礎性包括學科內容的基礎性、解法的通用性以及創設情境的典型性.它是以學習者在學習探索中最基礎的問題情境和基本知識能力的考查為載體，是學生升入高校進一步學習的必備知識與核心能力的體現.這就要求我們在高三復習過程中，遵循知識體系，進行有條理地梳理、歸納，特別是重點知識、易錯點、基本的數學思想方法等，經過長期的訓練形成習慣，學習力和能力才能同步提高.2022年是全國乙卷向新高考卷的過渡之年，提高自身學力，強化數學知識與方法的深度學習與理解，才能以不變應萬變.

例如，本文所述第21題中第(2)小問中區間零點含參取值范圍的問題，是在導函數參變分離的基礎上，進行的求導運算，這就要求我們首先對基礎計算、公式變形求導都要過關，其次，導數概念、法則、零點存在定理以及導函數的單調性要理解本質，明確由于參數a的范圍不確定，導致對函數分界點進行討論，特別是分類如何界定，最后我們更要明理，理解導函數各部分知識的關聯點在什么地方，提高運算的準確性和速度，適度掌握一些必要的解題技巧，而不是盲目下手解答，草草收場.

2.注重通性通法，突出變式思想

中國高考評價體系中強調高考就是要求學生基礎扎實，學會融會貫通.數學是思維性很強的學科，在高考數學復習中，要注重“一題多變”(即變式的延伸、弱化、加強與推廣)、“一題多用”(即用同一數學思想方法解決不同問題)，更多地關注高考試題的核心是什么，學會從試題中提煉反映數學試題變式本質的東西.

例如，試卷第21題中涉及函數區間零點含參取值范圍的問題，就是一類典型問題，需重點復習.比如，所求問題由“雙區間、雙零點”型弱化為“單區間、單零點”型，再變式為“不限區間、單零點”型，最后強化為“不限區間、雙零點”型，都可以運用化歸思想，采用分離參數，數形結合方法，實現導函數單調性的確定，最后根據區間零點分布，采用虛設零點，合理確定分類討論的界點.由于試題本質不變(以參數a與自變量x分離為最終目標)，所以通法不變，問題自然也容易類比解決，變式思想就是不斷更換命題的非本質特征，保留對象中本質因素，通過不同角度、層次、背景的變化，有意識引導學生從“變”中發現“不變”的本質，尋求“不變”的規律.所以注重解題思維訓練和變式能力培養都是十分有必要的.

3.完備知識結構，提升數學素養

數學概念、性質、公式、原理都是高考數學中必備知識，也是數學解題的基礎與關鍵，數學運算與推理能力薄弱往往是由于我們在日常中，過度關注解題數量，忽視數學知識前后體系的建立，知識結構出現碎片化，從而造成推理和計算時，含糊不清，以偏概全，亂套公式的現象，這也是目前高考數學答題失分嚴重的重要原因之一.