活用“平移齊次式” 妙解五年高考題

河北 郭天總 尹戰平

2022年新高考Ⅰ卷的數學試題給廣大考生留下了深刻的印象，好似一石激起千層浪，成了廣泛議論的話題，網上對這套試題的評價是“難”，那到底難在哪兒了呢？就21題來說，這是一道中規中矩的以兩直線斜率之和為定值考查直線與雙曲線位置關系的問題，本題如果按照常規的通性通法去做，計算量確實很大，在考場上要想完整做對確實有難度，但如果能夠抓住“兩直線斜率之和為定值”這一條件，用“平移齊次式”去處理這個問題，可以起到事半功倍的效果，這也充分體現高考試題的選拔性.下面筆者就如何使用“平移齊次式”解決斜率之和或斜率之積為定值的問題進行簡單的闡述，希望對各位同仁有所幫助.

一、“平移齊次式”的原理與步驟

“平移齊次式”的原理是將坐標原點平移到定點，這樣問題就轉化為一條直線與平移后的圓錐曲線的兩個交點分別與坐標原點連線的斜率之和或之積的問題.需要注意的是坐標原點平移后，圓錐曲線的方程、點的坐標及直線的方程都會發生變化，但直線的斜率不會發生變化，“平移齊次式”正是利用這一點優化了解題過程，減少了計算量.

“平移齊次式”的基本步驟可以概括為一平移、二化簡、三聯立、四齊次、五韋達.下面以橢圓為例具體說明一下：

二化簡：①式可化簡為b2x2+a2y2+(2pb2x+2qa2y)+(b2p2+a2q2-a2b2)=0； ②

三聯立：設平移后的直線方程為mx+ny=1，把②中的常數項(b2p2+a2q2-a2b2)乘以(mx+ny)2，一次項(2pb2x+2qa2y)乘以mx+ny;

“平移齊次式”的優點是大大減少了計算量，節約了時間，提高了準確率.缺點是mx+ny=1不能表示過原點的直線.需要注意：如果題目是過定點問題，還需要把直線方程還原到原來直角坐標系中去求定點.

二、“平移齊次式”速解高考題

下面談一下如何利用“平移齊次式”求解2022年新高考Ⅰ卷第21題.

(1)求l的斜率；

整理得,x2-2y2+4x-4y=0， (*)

設平移后的直線PQ的方程為mx+ny=1，

則(*)式可化為x2-2y2+(4x-4y)(mx+ny)=0，

整理得，(4n+2)y2+(4m-4n)xy-(1+4m)x2=0，

兩邊同除以x2(x≠0)得，

又已知直線AP,AQ的斜率之和為零，

則平移后直線PQ的方程為nx+ny=1，

所以直線l的斜率為-1.

又已知直線AP,AQ的斜率之和為零，

消去y得9x2-24x-16=0，設P(x1,y1),Q(x2,y2)，

【思路點撥】第(1)問的解法是利用了“平移齊次式”，整個解題過程簡潔明了，計算量也小；因為平移對△PAQ的面積沒有影響，所以第(2)問是在平移后的坐標系中求△PAQ的面積.

【方法對比】本題的常規解法：一種是設出直線PA的方程，與雙曲線C的方程聯立利用韋達定理求出點P的坐標，再利用kAP+kAQ=0，求出點Q的坐標，然后利用斜率公式求出直線l的斜率；另一種是設出P，Q兩點坐標，利用kAP+kAQ=0及韋達定理建立關于直線l斜率的方程來求解.這兩種方法是考生最容易想到的方法，但是計算量比較大，考生要想在有限的時間內完全做對，有一定的困難.

【試題點評】該試題充分體現了核心素養倡導下的試題特點，即“多考點想，少考點算”，此類題目要求學生具備解決較復雜問題的綜合素質，同時對學生思維的靈活性、探究性、創造性及方法的綜合運用要求也比較高，這樣的題目有利于高中數學教學加強培養學生的核心素養，有利于高校選拔人才，有利于為國家培養創新型人才.

三、“平移齊次式”常考常新

“平移齊次式”這一方法在以往的高考中“出鏡率”還是很高的，在2020年、2018年、2017年、2015年的全國卷Ⅰ中，關于解析幾何的解答題都可以用此法來解決.詳細過程如下：

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

因為P為直線x=6上的動點，故設P(6,t)，

又因為kPA=kCA,kPB=kDB，

整理得，x2+9y2+6x=0， (*)

設平移后的直線CD的方程為mx+ny=1，

則(*)式可化為x2+9y2+6x(mx+ny)=0，

整理得，(1+6m)x2+9y2+6nxy=0，

兩邊同除以x2(x≠0)得，

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

【解析】(1)略;(2)要證∠OMA=∠OMB，即證kMA+kMB=0，

整理得，x2+2y2+4x+2=0， (*)

點F(1,0)平移后的坐標為(-1,0)，

故設平移后直線l的方程為-x+ny=1，

則(*)式可化為x2+2y2+4x(-x+ny)+2(-x+ny)2=0，

所以∠OMA=∠OMB.

另外，2017、2015年全國卷Ⅰ理科第20題，這兩道試題也可以用“平移齊次式”來解答.有興趣的讀者可以自己嘗試做一下.

四、解題心得

如果從“平移齊次式”這個角度去評價2022年新高考Ⅰ卷的第21題，那么該題也不應算是難題，關鍵是學生在備考中是否研究過歷年高考真題.有關歷年高考真題的資料到處都有，學生手里也有各種各樣關于這方面的資料，但是為何看到2022年新高考Ⅰ卷的第21題就懵圈了呢？這說明學生平時只是一味地刷題，做完題后沒有反思，沒有對解題思路與步驟進行整理.做題只是學習的一個步驟而已，做完題后一定要反思，俗話說得好，不怕不會做，就怕會總結，做完一道題，一定要問自己，在這道題目上學到了什么數學知識、數學方法、數學思想.這道題有幾種解法？哪種方法是通性通法？哪種方法是專題專法？這道題屬于什么題型？這道題還能怎么變？命題人是怎樣命出這道題目的？想考查學生什么？只有這樣學習才能獲得必需的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，培養學生的“四能”，不斷提升學生數學核心素養.

五、結束語