2022年高考全國乙卷數學理科第20題解法探究

安徽 王中學 范 忠

2022年全國乙卷數學理科第20題是一道圓錐曲線中的直線過定點問題，并且與向量相結合，考查了橢圓的基本性質，也考查了分析問題、解決問題的能力，尤其是運算求解能力.本文對第(2)問進行了解法上的探討，并對其進行拓展給出了一般性的結論.

一、原題呈現

(1)求E的方程；

二、解法探究

(2)證法1：由題意可設直線MN的方程為x-1=m(y+2),

(4m2+3)y2+(16m2+8m)y+16m2+16m-8=0.

又Δ=(16m2+8m)2-4(4m2+3)(16m2+16m-8)>0，

設M(x1,y1)，N(x2,y2)，

所以點H(3y1-x1+6,y1).

所以過定點(0,-2).

綜上，直線HN過定點(0,-2).

又x1y2+x2y1+2(x1+x2)-6y2-12-3y1y2-6y1

=(2m-3)y1y2+(4m-5)(y1+y2)+8m-8

=0,

即點Q在直線AB上，所以點Q=T.

綜上，直線HN過定點(0,-2).

證法3(坐標平移變換)：設原方程坐標為(x′,y′)，新坐標為(x,y)，

由題意可設直線MN：x=my+1，

設M(x1,y1)，N(x2,y2)，

若過點P的直線MN的方程為y=-4x+4時，

即點Q在直線AB上，所以點Q=T.

綜上，直線HN過定點(0,-2).

三、問題探究

證明：由題意可設直線MN：y-(a-c)=k(x-a),

化簡得，2ab2k(a-c)-b2(a-c)2+b4>0，

設M(x1,y1)，N(x2,y2)，

設MH的中點為Q，

即點Q在直線AB上，所以點Q與T重合.

綜上，直線HN過定點(a,0).

通過問題的探究，我們可以得到以下結論.

由于橢圓與雙曲線有很多相似的性質，于是考慮雙曲線是否也具有相似的結論呢？經計算，得到結論2.

經計算，拋物線也具有這類性質，于是得到結論3.

四、小結

馬波教授在《中學數學解題研究》中提到：開展解題研究，選擇適當的問題，從解題的某一個側面加以總結、概括、提升，尤其是審題和反思這兩個環節，這直接關系到解題的水平和能力.解題后的反思不僅是簡單的回顧和檢驗，而應仔細分析問題的結構特點，總結、厘清、概括思路，進而提出新的問題并加以解決.通過對條件和結論的再認識，變換角度，進行類比或歸納，形成知識的正遷移.