例談三角函數中ω的取值范圍問題
——基于核心素養的高考復習微專題

陜西 侯有岐

在近幾年的高考中，三角函數是高考必考的重點內容，根據三角函數相關性質求解參數ω的值或取值范圍是三角函數中比較典型的一類問題，它能有效考查學生對三角函數基本性質的掌握程度，因此備受高考命題者的青睞，但仍有部分學生對此類問題處理起來存在一定的困難，不知道如何等價轉化問題的已知條件，造成求解范圍不準確.本文就如何突破解析式中參數ω的策略作了一些總結，以供讀者參考.

題型一：與函數的單調性有關

(2)已知三角函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在某個區間M上的單調性，求參數ω的取值范圍，可先求出f(x)的同類單調區間D，然后利用M?D這個關系求解，如解法二，考查了部分與整體的思想；當然本題也可以利用導數知識解決，如解法一，考查了轉化與化歸的思想.

題型二：與函數的值域有關

題型三：與函數的最值、極值有關

要使函數在區間(0,π)恰有三個極值點、兩個零點，

題型四：與函數的零點有關

因為ω>0，當x∈(π,2π)時，

進而可得

假設f(x)在區間(π,2π)內有零點，

點評：(1)三角函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)相鄰兩個零點間的距離的大小對函數周期的影響，也是求三角函數周期和參數ω的重要思路，但求解過程中應注意圖象的平衡位置發生變化時，即平衡位置不在x軸上時，其相鄰兩個零點的距離一定不再是半個周期.

(2)本題解法二先假設在區間(π,2π)內有零點，然后分類討論求出ω的范圍，從而得出沒有零點時ω的范圍，即“正難則反”，考查了分類與整合的思想.

題型五：與函數的對稱性有關

題型六：與函數的周期性有關

設f(x)的最小正周期為T，

又f(x)的最小正周期大于2π,所以0<ω<1，

題型七：與函數的多種性質有關

A.11 B.9 C.7 D.5

點評：三角函數的性質包含值域、最值、單調性、周期性、對稱性和零點等多類性質，這些性質直接影響著函數周期的變化，也影響著參數ω的取值或范圍，以上兩個問題的解決都是著眼于三角函數的相關性質對函數周期的影響這一本質，考查了數形結合和轉化與化歸的數學思想.

結語：y=Asin(ωx+φ)的圖象源于y=sinx，y=Acos(ωx+φ)的圖象源于y=cosx，y=Atan(ωx+φ)的圖象源于y=tanx，無論題目的背景換成什么，其本質不變，都是通過正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質來解決，因此，借助三角函數的性質求解函數解析式中的參數ω，應在熟悉基本三角函數圖象的基礎上，通過掌握參數ω與三角函數的周期性、單調性、對稱性和最值等之間的密切聯系，利用整體思想和數形結合等數學思想，把復雜問題簡單化、熟悉化，才能更有效地破解求參數ω過程中的難點.