解決函數綜合問題中的“放大鏡”和“望遠鏡”

北京 崔 鵬

一、問題分析

1.1 問題1：函數圖象“細節處”的矛盾

要求圖中的直線與曲線恰好有一個公共點.

考慮到如下的情況：

這道題目難度很大，這種局部的交點問題確實是我們容易犯錯的地方.解決此類函數問題時，“放大鏡”發揮了奇效.

同樣作出兩個函數的圖象，按照上例的分析特點，我們判斷在拋物線頂點A的左側應該還會有一個交點B，圖象放大如下：

在不能確定函數圖象有幾個交點時，我們應該學會用代數法試驗一下，得到下列方程組：

1.2 問題2：函數圖象“遠處”的困惑

【問題】方程(x-1)4=2|x|-2的實根有________個.

【分析】本情境的實質是考查該方程實數根的個數，并沒有要求求解.實際上，這樣的方程沒有很好的代數解法，只能借助函數的圖象進行處理.考查兩個函數y=(x-1)4和y=2|x|-2，畫出這兩個函數的圖象：

方程的根即為兩個函數圖象交點的橫坐標.我們應該很容易從圖上看出兩個函數圖象的兩個交點，但是在很遠處有沒有交點，并不能看清楚.因此，此題僅依托圖象不足以確定答案，為得到函數在x取值很大時的變化特征，可以考慮用特殊值試驗一下，列得下表：

3456…100y=(x-1)41681256625…≈108y=2x-26143062…≈2100

僅列出前幾個點發現二者函數值的差距越來越大，因此便“坐實”了兩個實根的結論.但是考慮到“指數爆炸”現象，應該進一步分析，在距離很遠處，即x取值很大時，指數函數的函數值會超過四次函數的函數值，因此可以考慮代入一些比較大的數，如最后一列數：2100≈1031，遠遠大于四次函數的函數值，因此在x軸正半軸很遠處還有一個交點，并且在其之后不會再有，同理，在x軸負半軸也會同樣存在一個交點，因此本題的正確答案為四個交點，即原方程有四個實根.

這道題給我們的啟發是數形結合并不是簡單的畫畫圖象，觀察一下就可以了，而是要結合函數的性質以及相應的運算特征進行細致的分析，而不能停留在表面.這也就是“望遠鏡”的奇效了.這類問題的變式很多，大都是聚焦在指數函數、對數函數以及冪函數及其相關函數的交點問題上.我們“會”作圖，但實際上只停留在簡單的草圖層面，如何分析出函數“遠處”的圖象要依托對函數性質深刻理解，更重要的是要借助代數處理，即做到真正的“數形結合”.

二、問題遷移

上面的兩個例子重點討論了針對函數綜合題的具體解題策略，在平時的解題過程中，還應該通過不斷的積累，能夠對不同函數的模型進行合理的選擇，從而規避以上“細處”看不清、“遠處”看不到的困境.例如，我們討論以下問題：

【題目】當x∈(0,+∞)時，求證：ex>x2；

三、問題小結

“直觀想象”是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎.主要表現為建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物.

在本文中，無論是問題1中“細節處”的矛盾，還是問題2中“遠處”的困惑，包括問題遷移中關于函數模型構造的選擇，都是代數和幾何綜合問題中常見的難點.而文中提到的“放大鏡”“望遠鏡”，只是將突破這些難點的方式做了一個比喻，也就是要“向細處深究”“向遠處預判”.解決函數綜合題首先建立在對函數性質的深刻理解上，建立在對解析式和函數圖象的靈活切換上，我們做這方面的分析研究，都是在培養思考問題的全面性，從而推進數學核心素養的落地.