怎樣由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式

王霞瑤

由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題比較常見(jiàn)，常以選擇題、填空題出現(xiàn)．此類問(wèn)題中的遞推關(guān)系式多種多樣，因而解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是合理變形遞推關(guān)系式．本文結(jié)合例題介紹三個(gè)求數(shù)列通項(xiàng)公式的技巧．

一、累加

累加，顧名思義是指將多個(gè)式子一起相加．若已知的遞推關(guān)系式形如an+1-an=f（n），則可通過(guò)累加來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．分別令n=1，2，3，…，n，再將這n個(gè)式子累加，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．

一般地，an-an-1=f（n）只滿足n≥2的情形，因此通過(guò)累加，求得的數(shù)列通項(xiàng)公式只滿足n≥2的情形，需對(duì)n=1的情況單獨(dú)進(jìn)行討論．

二、累乘

對(duì)于形如的數(shù)列遞推關(guān)系式，需將n=1，2，3，…，n時(shí)的式子累乘，那么相鄰兩項(xiàng)的分子、分母相互約分，即可得an的表達(dá)式，進(jìn)而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

三、構(gòu)造輔助數(shù)列

對(duì)于形如等的遞推關(guān)系式，在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，往往要在遞推式的左右同時(shí)除以一個(gè)常數(shù)、取倒數(shù)，將其變形為的形式，然后引入待定系數(shù)λ，將其變形為，從而構(gòu)造出輔助數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解．

該遞推關(guān)系式為分式，于是在其左右取倒數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為這樣便構(gòu)造出等差數(shù)列，只需根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可．

由此可見(jiàn)，由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需先辨別遞推關(guān)系式的形式，如等，然后采用與之相應(yīng)的技巧，如累乘、累加、構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)進(jìn)行求解．