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2022-11-30 18:30:24李秋香

語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 訂閱 2022年9期 收藏

關(guān)鍵詞：變形利用

李秋香

若a、b>0，則a+b≥2√ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，該式稱為基本不等式．基本不等式是解答最值問題的重要工具，在解答最值問題、參數(shù)的取值范圍問題、恒成立問題中應(yīng)用廣泛，在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，往往要把握三個(gè)條件：（1）一正．即兩個(gè)式子均為正的；（2）二定．當(dāng)兩式的和為定值時(shí)，其積取最大值；當(dāng)兩式的積為定值時(shí)，其和取最小值；（3）三相等．即當(dāng)且僅當(dāng)兩式相等時(shí)，等號(hào)成立．一般地，很多同學(xué)能把握第一、三個(gè)條件，但對(duì)于第二個(gè)條件，卻很難把握，不知如何配湊出兩式的和或積．下面結(jié)合實(shí)例來談一談基本不等式的兩個(gè)配湊技巧．

一、通過分離，配湊出基本不等式

若目標(biāo)式為分式，且分子的最高次數(shù)高于分母的最高次數(shù)，則可考慮通過分離來配湊基本不等式．一般地，可通過添項(xiàng)、減項(xiàng)、湊系數(shù)、拆項(xiàng)的方式，將分子配湊成分母的倍數(shù)，使整式、分式分離，將其轉(zhuǎn)化為形如的形式．只需使分母為正數(shù)，便可利用基本不等式求得最值．

該目標(biāo)式為分式，于是通過分離整式、分式，將其變形為的形式，而為定值，于是利用基本不等式就能求出最小值．

二、通過換元，配湊出基本不等式

有些目標(biāo)式較為復(fù)雜，無法直接運(yùn)用基本不等式來求得最值，此時(shí)可通過換元來配湊出兩式的和或積，為運(yùn)用基本不等式創(chuàng)造條件．可將某個(gè)式子用一個(gè)新元替換，通過等量代換，得到關(guān)于新元的目標(biāo)式，再將其變形為兩式的和或積的形式，便可利用基本不等式求得最值．……

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