求三角函數最值的三種思路

王慧子

三角函數最值問題涉及的知識面較廣，常與三角函數的性質、圖象、定義，二次函數的性質、圖象，基本不等式、一元二次方程的判別式等相結合，因而解答此類問題的思路較多．筆者對其中的三種思路進行了總結，下面結合實例進行介紹．

一、運用三角函數的性質

若三角函數式可直接化為y=A sin（ωx+φ）+h、y =A cos（ωx+φ）+h、y=A tan（ωx+φ）+h的形式，便可根據正弦、余弦、正切函數的單調性和有界性求得函數的最值．在求最值時，往往要先根據函數的定義域，求得ωx+φ的取值范圍，然后結合三角函數的圖象確定函數的最大、最小值．

解答本題，需先利用二倍角公式、輔助角公式將函數式化簡為只含有正弦函數的式子，然后根據正弦函數的有界性和單調性求得最值．

二、采用換元法

有些三角函數式較為復雜，其中含有分式、根式、絕對值、多次出現的式子，此時可引入新變量，將三角函數式中的某一部分用新變量替換，將三角函數式轉化為關于新變量的三角函數式、二次函數式、指數式、對數式，然后根據基本初等函數的性質求三角函數的最值．在換元的過程中，要關注新舊變量的取值范圍．

解答該題，一需注意挖掘隱含條件，即三角形的內角和為，且每一個銳角不能超過二需選取合適的式子進行換元，將三角函數式轉化為關于新元的函數式，根據初等函數的性質求得最值．

三、利用基本不等式

基本不等式：a+b≥2√ab（a、b>0）是解答最值問題的常用T具．運用基本不等式求解三角函數式最值問題，需先將三角函數式進行合理的變形，以便配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值．若兩式大于0，即可運用基本不等式求最值；若……