例析三類分段函數問題的解法

金丙楠

分段函數是指在不同區間上有不同解析式的函數．因而分段函數問題較為復雜，需靈活運用分類討論思想，分別對不同區間上的函數解析式、性質、圖象進行討論．本文結合幾個典型的例子，談一談如何解答有關分段函數的單調性、奇偶性、周期性問題．

一、有關分段函數的單調性問題

若定義域的每一個子區間上的函數都是增函數（或減函數），則該分段函數在定義域內是增函數（或減函數）．求解有關分段函數的單調性問題，首先根據函數單調性的定義，或導函數與函數單調性之間的關系判斷每個區間段上函數的單調性．要注意的是，對于具有單調性的分段函數，需確保定義域內每個子區間上的每個x對應的y都是越來越大或越來越小．

本題看似較為復雜，其實卻較簡單，只需明確當x<1時，f（x）=（3a-1）x+4a為一次函數，當x≥1時，f（x）= logax為對數函數，根據一次函數和對數函數的單調性，函數單調性的定義建立不等式，即可解題．

二、有關分段函數的奇偶性問題

解答有關分段函數的奇偶性問題，需首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，然后根據函數奇偶性的定義來進行求解．一般地，若在定義域內廠（-x）= -f（動，則該函數為奇函數；若f（x）=f（-x），則該函數為偶函數．

三、有關分段函數的周期性問題

若某個函數f（x）的周期為T，則f（x）=f（x+T），分段函數也具有該性質．解答有關分段函數的周期性問題，需根據已知條件和函數的奇偶性、對稱性，借助已知區間上的函數式或值，求得未知區間上的函數式或者值，以便明確分段函數的周期T，從而利用函數的周期性來解題．

雖然分段函數與簡單基本函……