由一道題談解答含有指、對(duì)跨階函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的方法

周方　王樹(shù)穎

不等式恒成立問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)中的高頻考點(diǎn)．其中含有指、對(duì)跨階函數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題一直困擾著大家，含有指、對(duì)跨階函數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題的難度一般較大，且具有較強(qiáng)的綜合性，側(cè)重于考查邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．本文以2020年新課標(biāo)全國(guó)I卷的第21題為例，談一談如何從不同的角度探究指、對(duì)跨階函數(shù)恒成立問(wèn)題的解法．

題目：已知函數(shù)f（x）= aex-1 - ㏑x + ㏑a．

（1）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）若f（x）≥1，求參數(shù)a的取值范圍．

該函數(shù)式中同時(shí)含有指、對(duì)函數(shù)，且含有高次冪，較為復(fù)雜．第一個(gè)問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，本文主要探討第二個(gè)問(wèn)題的解法．筆者從不同角度進(jìn)行分析，得到了以下幾種解題的思路．

角度1：設(shè)而不求

解答含有指、對(duì)跨階函數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，通常要利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)．而在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解題過(guò)程中，需分析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)．但導(dǎo)方程f'（x）=0是超越方程，其零點(diǎn)無(wú)法求出，此時(shí)可采用設(shè)而不求法，虛設(shè)零點(diǎn)，借助零點(diǎn)存在性定理，估算出零點(diǎn)所在的大致范圍，并用零點(diǎn)表示參數(shù)，將其代人到題設(shè)中，通過(guò)隱零點(diǎn)代換，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，找到使不等式恒成立的條件．

根據(jù)，虛設(shè)出零點(diǎn)，采用設(shè)而不求法，將零點(diǎn)代人函數(shù)式中，借助基本不等式消去x0，最終求得函數(shù)的最小值，便可建立關(guān)于參數(shù)a的不等式．

角度2：采用函數(shù)同構(gòu)法

采用函數(shù)同構(gòu)法解答含有指、對(duì)跨階函數(shù)的不等式恒成立……