幾何極值

單 墫

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,210023)

如圖1，過∠A內(nèi)一定點(diǎn)P引直線與∠A的兩邊交于點(diǎn)B，C.

(1)當(dāng)PB=PC時(shí)，?ABC面積最小;

(2)當(dāng)BC邊外的旁切圓與BC切于點(diǎn)P時(shí)，?ABC周長最小；

(3)當(dāng)AB=AC時(shí)，PB·PC最小.

劉國梁老師選了一批幾何極值問題，頗有趣.筆者做了與中學(xué)幾何有關(guān)的幾題，其中初中部分即以上3題.

證明(1)如圖2，對任一過點(diǎn)P的線取B′C′(點(diǎn)B′，C′分別在AB，AC的延長線上)，則有∠BCC′>∠B，所以過點(diǎn)C在∠BCC′內(nèi)作CD，使∠BCD=∠B(即CD∥AB).

設(shè)CD交PC′于點(diǎn)D，則由BP=PC，可得

?PBB′≌?PCD.

所以S?AB′C′>S?ABC.

(2)如圖3，設(shè)旁切圓分別切直線AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則BP=BE，PC=CF，所以?ABC的周長等于AE+AF.

對另一?AB′C′(B′C′過點(diǎn)P且點(diǎn)B′,C′分別在AB，AC的延長線上)，設(shè)B′C′交旁切圓于另一點(diǎn)Q.

所以B′E+C′F≤p+q+r.

所以?AB′C′周長=AB′+AC′+B′C′≥AB′+B′E+AC′+C′F=AE+AF=?ABC周長.

(3)如圖4，∠B=∠ACB>∠C′.

設(shè)⊙B′BC交B′C′于點(diǎn)D，則∠B′DC=∠B>∠C′，所以點(diǎn)D在線段PC′上.

所以PB·PC=B′P·PD