依托不動點新定義 探究函數值不變性

李發勇

(四川省巴中市巴州區大和初中,636031)

對于函數g(x),如果存在x0,使得g(x0)=x0,則x0叫做函數g的不動點.本質上,不動點問題就是方程的根的求解問題.其思考方法:依據定義,不動點問題轉化為方程g(x)=x的根或函數g(x)=x與直線y=x的交點的橫坐標問題.本文舉例說明與不動點有關的問題,供分享.

一、不動點的存在性

(2)函數y=3kx+s-1(k,s是常數)的圖象上存在“夢之點”嗎?若存在,請求出“夢之點”的坐標;若不存在,說明理由.

(2) 由y=x,得(1-3k)x=s-1.

由|x1-x2|=2,得(b-1)2=4a2+4a,

例2(2013屆景德鎮市九年級第三次質檢題)新定義:若t=at2+bt+c成立,則稱點(t,t)為拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的不動點.設拋物線C的解析式為y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).

(2)對于任意實數b,實數a應在什么范圍內,才能使拋物線C上總有兩個不同的不動點?

解(1)由題意,得

∴拋物線C的解析式為y=x2-x-3.

令x=x2-x-3,

解得x1=-1,x2=3.

∴不動點為(-1,-1)和(3,3).

(2)若拋物線C有兩個不同的不動點,則由x=ax2+(b+1)x+(b-1),整理得ax2+bx+(b-1)=0.

∴Δ=b2-4a(b-1)>0,

即b2-4ab+4a>0.

∵b為任意實數,且使得上式成立,

∴(-4a)2-4×1×4a<0,

整理，得a2-a<0,

解得0

∴實數a的范圍是0

(3)k=-1或k=-2.(過程略)

二、不動點的應用

例3(2003年綿陽中考題)若點P(t,t)在拋物線上,則點P叫做拋物線的不動點.設拋物線y=ax2+x+2經過點(-1,0).

(1)求這條拋物線的頂點和不動點的坐標;

(2)將這條拋物線進行平移,使其只有一個不動點.證明平移后的拋物線的頂點在直線4x-4y-1=0上.

分析(1)設出不動點的坐標,并代入拋物線解析式中,即可求出不動點的坐標.

(2)先設出平移后拋物線的解析式,再由這個拋物線只有一個不動點可得出平移后拋物線的頂點坐標所滿足的關系式.

解(1)由拋物線y=ax2+x+2經過點(-1,0),可得a-1+2=0,∴a=-1,

(2)設平移后的拋物線為y=-(x-a)2+b,則由拋物線只有一個不動點,可得方程x=-(x-a)2+b,即x2-(2a-1)x+(a2-b)=0只有一個解,

∴Δ=(2a-1)2-4(a2-b)=0,

即4a-4b-1=0.

故平移后拋物線的頂點在直線4x-4y-1=0上.

例4(2019年上海中考題)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=x2-2x,其頂點為A.

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標,并說明它的變化情況;

(2)我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”.

① 試求拋物線y=x2-2x的“不動點”坐標;

② 平移拋物線y=x2-2x,使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”,其對稱軸與x軸交于點C,且四邊形OABC為梯形,求新拋物線表達式.

解(1)拋物線y=x2-2x的開口向上,頂點A的坐標是(1,-1).

拋物線的變化情況:拋物線在對稱軸左側的部分是下降的,右側的部分是上升的.

(2)① 設拋物線y=x2-2x的“不動點”坐標為(t,t),則t=t2-2t,解得t1=0,t2=3.

∴拋物線y=x2-2x的“不動點”的坐標是(0,0),(3,3).

② 設新拋物線的頂點B(m,m)是其“不動點”,則新拋物線的對稱軸x=m與x軸的交點為C(m,0).

∵四邊形OABC是梯形,

∴對稱軸x=m在y軸左側.

∵BC與OA不平行,∴OC∥AB.

又點A的坐標為(1,-1),點B的坐標為(m,m),∴m=-1,即新拋物線是由拋物線y=x2-2x向左平移2個單位得到的.

故新拋物線的表達式是y=(x+1)2-1.

新定義試題屬于創新類試題,主要考查學生對“新定義”的理解和認識,以及靈活運用知識的能力.對于新定義型問題,我們需要將“新定義”與已學知識聯系起來,利用已有的知識經驗來解決.