例析求解分段函數(shù)問題的方法與技巧

2022-11-28 08:44:48龔自輝

初中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年19期

龔自輝

(湖北省黃岡市蘄春縣劉河鎮(zhèn)劉河中學(xué),435325)

分段函數(shù)在各地中考試題中時有出現(xiàn),主要考查學(xué)生的閱讀理解能力,以及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.分段函數(shù)常以函數(shù)應(yīng)用為背景,其常見中考題型有解析型、圖象型、列表型以及綜合型等.下面我們舉例說明,與大家共享.

一、解析型

解析型的分段函數(shù),在解題時要注意自變量的取值范圍,以自變量不同范圍內(nèi)的解析式,作為解題的數(shù)量條件來解決問題.

例1在建設(shè)兩型社會的過程中,為推進節(jié)能減排,發(fā)展低碳經(jīng)濟,我市某公司以25萬元購得某項節(jié)能產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后,再投入100萬元購買生產(chǎn)設(shè)備,進行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工.已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價為每件20元.經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品的銷售單價定在25元到35元之間較為合理,并且該產(chǎn)品的年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為:

(年獲利=年銷售收入-產(chǎn)品成本-投資成本)

(1)當銷售單價定為28元時,該產(chǎn)品的年銷售量為多少萬件?

(2)求該公司第一年的年獲利w(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并說明投資的第一年,該公司是盈利還是虧損?若盈利,最大利潤是多少?若虧損,最小虧損是多少?

(3)第二年,該公司決定給希望工程捐款Z萬元,該項捐款由兩部分組成:一部分為10萬元的固定捐款;另一部分則為每銷售一件產(chǎn)品,就抽出一元錢作為捐款.若除去第一年的最大獲利(或最小虧損)以及第二年的捐款后,到第二年年底,兩年的總盈利不低于67.5萬元,請你確定此時銷售單價的范圍.

解(1)當25≤x≤30時，y=40-x,

∴yx=28=(40-x)x=28=12(萬件).

(2)當25≤x≤30時，

w=(40-x)(x-20)-25-100

=-x2+60x-925

=-(x-30)2-25.

當x=30時，w最大為-25，即公司最少虧損25萬元；

當30

w=(25-0.5x)(x-20)-25-100

故當x=35時，w最大為-12.5,即公司最少虧損12.5萬元.

綜上，投資的第一年，公司虧損，最少虧損12.5萬元.

(3)當25≤x≤30時，

w=(40-x)(x-20-1)-12.5-10

=-x2+61x-862.5≥67.5.

化簡，得x2-61x+930≤0,

解得30≤x≤31.

當兩年的總盈利不低于67.5萬元時,x=30;

當30

w=(25-0.5x)(x-20-1)-12.5-10

化簡，得x2-71x+1230≤0,

解得30≤x≤41.

故當兩年的總盈利不低于67.5萬元時,30

綜上,到第二年年底,兩年的總盈利不低于67.5萬元,此時銷售單價的范圍是30≤x≤35.

評析本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式.此題涉及的數(shù)據(jù)較多,認真審清題意是解決問題的關(guān)鍵.

二、圖象型

圖象型的分段函數(shù)是在自變量的取值范圍內(nèi),根據(jù)圖象的形狀選取正確的函數(shù)模型,再根據(jù)圖象上的點的坐標,利用待定系數(shù)法求出解析式.

例2(2022年湖北黃岡中考題)為增強民眾生活幸福感,市政府大力推進老舊小區(qū)改造工程.和諧小區(qū)新建一小型活動廣場,計劃在360 m2的綠化帶上種植甲、乙兩種花卉.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):甲種花卉種植費用y(元/m2)與種植面積x(m2)之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示,乙種花卉種植費用為15元/m2.

(1)當x≤100時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;

(2)當甲種花卉種植面積不少于30m2,且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍時.

① 如何分配甲乙兩種花卉的種植面積才能使種植的總費用w(元)最少?最少是多少元?

② 受投入資金的限制,種植總費用不超過6000元,請直接寫出甲種花卉種植面積x的取值范圍.

解(1)當0

當40≤x≤100時,設(shè)y=kx+b,則有

(2)① 由題意,可得

360-x≥3x,解得x≤90.

又x≥30,∴30≤x≤90.

當30≤x<40時,

w=30x+15(360-x)=15x+5400.

∵15>0,∴w隨x的增大而增大.

當x=30時，w最小值=15×30+5400=5850.

當40≤x≤90時,

當x<50時,w隨x增大而增大,所以當x=40時,w最小值=6000;

當x>50時,w隨x增大而減小,所以當x=90時,w最小值=5625.

∵5625<5850<6000,

∴w的最小值為5625.

故甲種花卉種植面積為90m2,乙種花卉種植面積為270m2,總費用最少,最少是5625元.

② 30≤x≤40或60≤x≤90.

評析建立函數(shù)模型、確定自變量的取值范圍以及掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

三、列表型

解決以函數(shù)應(yīng)用為背景的列表型函數(shù)問題,關(guān)鍵是要從列表中判斷若干個數(shù)據(jù)適合的函數(shù)種類,既可以用待定系數(shù)法求出不同種類的函數(shù)解析式,再將余下的數(shù)據(jù)代入驗證,從而得到滿足條件的函數(shù)解析式;也可以用描點、連線畫圖象的方法,來確定函數(shù)的種類;其實,不同的函數(shù)列表中的數(shù)據(jù),有其不同的函數(shù)特點,還可以根據(jù)函數(shù)列表中的數(shù)據(jù)特點,選取正確的函數(shù)模型,求出函數(shù)解析式,從而使問題得以解決.

例3(2020年貴州安順中考題)2020年體育中考,增設(shè)了考生進入考點需進行體溫檢測的要求.防疫部門為了解學(xué)生錯峰進入考點進行體溫檢測的情況,調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進入考點的累計人數(shù)y(人)與時間x(分鐘)的變化情況,數(shù)據(jù)見表1.(表中9～15表示9

表1

7899～15770800810810

(1)根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進入考點的累計人數(shù)與時間的變化規(guī)律,利用初中所學(xué)函數(shù)知識求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果考生一進考點就開始測量體溫,體溫檢測點有2個,每個檢測點每分鐘檢測20人,考生排隊測量體溫,求排隊人數(shù)最多時有多少人?全部考生都完成體溫檢測需要多少時間?

(3)在(2)的條件下,如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測,從一開始就應(yīng)該至少增加幾個檢測點?

解(1)由表1中數(shù)據(jù)的變化趨勢,可知當0≤t≤9時，y是x的二次函數(shù).

當x=0時,y=0,則二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為y=ax2+bx.

而當x=1時,y=170；

當x=3時,y=450,

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為

y=-10x2+180x.

又當9

∴y與x的關(guān)系式為

(2)設(shè)第x分鐘時排隊人數(shù)是w,則

① 當0≤t≤9時，

w=-10x2+140x=-10(x-7)2+490.

∴wmax=wx=7=490.

② 當9

綜上,排隊人數(shù)最多時有490人.

要全部考生都完成體溫檢測,則得

810-40x=0,解得x=20.25.

故全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘.

故一開始就應(yīng)該至少增加2個檢測點.

評析根據(jù)函數(shù)列表中存在兩種不同的函數(shù)變化趨勢,可知是分段函數(shù).本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用及性質(zhì),一元函數(shù)的性質(zhì)、一元一次不等式的應(yīng)用,其中確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.