突破常規(guī)思維 培養(yǎng)創(chuàng)新意識*
——面積法在中考題中的應(yīng)用

張 寧

(寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)東臺學(xué)校,755000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:創(chuàng)新意識的培養(yǎng),是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù),應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中,學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ),獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心[1].筆者認為,課堂是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的主陣地.在教學(xué)過程中,教師引領(lǐng)學(xué)生突破常規(guī)思維限制,創(chuàng)新問題解決方法,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的有效途徑.本文以2021年全國各地中考數(shù)學(xué)試題為例,突破常規(guī)解題方法,利用面積法創(chuàng)新求解幾何計算問題,為創(chuàng)新素養(yǎng)教育積累課程資源,供讀者參考.

一、面積法在中考題中的應(yīng)用

1.求解與三角形有關(guān)的幾何問題

解如圖1,連結(jié)CF.

令S?AEF=m,則S?CEF=m,S?ABF=3m.

點評本題的常規(guī)解法是構(gòu)造平行線,利用相似三角形的性質(zhì)或平行線分線段成比例定理求解.這里的解法根據(jù)“高相同的兩個三角形面積之比等于對應(yīng)底邊之比”解決問題,求解過程通俗易懂,簡潔明了.由此可以看出,面積法也是求解線段之比問題的有效方法.這種方法與構(gòu)造平行線相比,具有一定的創(chuàng)新性,有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng).

解析如圖2,取AD的中點M,連結(jié)EM.

由E是CD的中點,可得EM∥AC,

∴∠DEM=∠ACD=∠BED=45°,

即DE平分∠BEM.

令EM=3k,則BE=2k.

點評本題的常規(guī)解法是利用∠ACD=∠BED=45°構(gòu)造直角三角形,然后利用直角三角形的性質(zhì)或相似三角形的性質(zhì)求線段AB的長.這里的解法是根據(jù)圖形特征,作輔助線EM構(gòu)造角平分線模型,然后利用角平分線的性質(zhì)及三角形的面積公式解決問題.

2.求解與四邊形有關(guān)的幾何問題

例3(2021年瀘州中考題) 如圖3,在邊長為4的正方形ABCD中,點E是BC的中點,點F在CD邊上,且CF=3DF,AE,BF相交于點G,則?AGF的面積是______.

解如圖3,延長AE,交DC的延長線于點H.

易知CH=AB=4,CF=3,∴FH=7.

∵S?AGF+S?FGH

=S正方形ABCD-S?ADF=16-2=14,

點評利用面積法求解本題的方法不唯一，具有不同認知水平的學(xué)生,可以給出不同的解法.這里的解法將線段之比轉(zhuǎn)化為三角形的面積之比,然后通過列方程求得了三角形的面積,具有一定的創(chuàng)新性.

例4(2021年東營中考題)如圖4,正方形紙片ABCD的邊長為12,點F是AD上一點,將?CDF沿CF折疊,點D落在點G處,連結(jié)DG并延長交AB于點E.若AE=5,則GE的長為____.

解法1如圖4，設(shè)DE與CF相交于點H.

由折疊,得DE⊥CF,DH=GH.

易證?DCF≌?ADE,

∴DF=AE=5,CF=DE.

在Rt?DCF中,由勾股定理,得

點評本題的常規(guī)解法就是構(gòu)造直角三角形，利用全等三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識求解.上述解法滲透轉(zhuǎn)化思想，是解決這類問題的通性通法，具有普適性.

解法2如圖5，連結(jié)EF，CE，設(shè)DE與CF相交于點H.

由解法1,可知DE⊥CF,DH=GH,DF=AE=5,DE=CF=13.

令GE=x,GH=DH=y,則EH=x+y,DE=x+2y.

∴S?CEF=S正方形ABCD-S?AEF-S?BCE-S?CDF

點評由圖形的軸對稱性,易知DE⊥CF,由此可想到利用面積關(guān)系列方程求解.這種解法計算量小,方法新穎獨特,求解過程簡潔明了,是一種創(chuàng)新解法.

例5(2021年廣東中考題)如圖6,在ABCD中,過點D作DE⊥AB,垂足為E,則sin∠BCE=______.

解如圖5,過點B作BF⊥EC于點F.

由S平行四邊形ABCD=S?ADE+S?CDE+S?BCE，得

由三角函數(shù)的定義,易得

點評本題的常規(guī)解法是構(gòu)造直角三角形,將∠BCE或∠BCE的等角轉(zhuǎn)化到某一個直角三角形中,然后利用直角三角形的性質(zhì)或相似三角形的性質(zhì)求得這個直角三形的某些邊長,最后利用三角函數(shù)的定義求得sin∠BCE.而這里利用面積法列方程求解,避免了繁瑣的計算,體現(xiàn)了面積法的優(yōu)越性.

例6(2021年嘉興中考題)如圖7,在ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AB⊥AC,AH⊥BD于點H.若則AH的長為______.

解析由勾股定理,易得

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

在Rt?AOB中,由勾股定理,可得

點評線段AH是Rt?AOB的邊OB上的高,故只需求得線段OA和OB的長即可利用面積法求得線段AH的長.這種解法避免了構(gòu)造輔助線,求解過程簡潔明了,是一種非常優(yōu)

美的解法.

二、結(jié)束語

在學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生在解決與三角形或四邊形有關(guān)幾何計算問題時,習(xí)慣利用直角三角形、全等三角形、相似三角形的有關(guān)性質(zhì)求解.當(dāng)幾何問題中已知量與未知量之間的邏輯關(guān)系不明顯時,學(xué)生習(xí)慣構(gòu)造輔助線,使已知量與未知量之間的邏輯關(guān)系外顯化,然后再利用直角三角形、全等三角形或相似三角形等基本圖形的性質(zhì)求解.這樣容易使學(xué)生形成解題套路,遇到幾何問題時能快速形成解題思路，但也存在一定的弊端,容易使學(xué)生思維僵化,缺乏創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力,不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng).由以上幾何問題可以看出,面積法在解決與三角形或四邊形有關(guān)的幾何計算問題時有著廣泛的應(yīng)用.在教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生用多種方法解決同一類問題,對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)大有裨益.面積法其實質(zhì)是將某一幾何圖形的面積“算兩次”[2],由結(jié)果相等可構(gòu)造等量關(guān)系,為解決問題提供便利條件.當(dāng)幾何圖形中某個三角形的面積易用有關(guān)線段表達時,可考慮將這個三角形的面積“算兩次”,然后通過列方程解決問題,這種方法具有化難為易、化繁為簡的作用,能夠達到事半功倍的效果.