“連桿變換”模型及其應用

苑建廣

(河北省晉州市教育局教研室,052260)

一、“連桿變換”模型

當θ=0°時,連桿變換退化為位似變換.

“連桿變換”模型有時被稱作“瓜豆原理”,取“種瓜得瓜,種豆得豆”之意,它常常以隱蔽的方式藏在題目背景中,作為壓軸題的常用命題素材.

二、“連桿變換”模型的應用

例3(2022年寶雞模擬題)如圖4,四邊形ABCD中(B,D在AC的異側),AB=BC=3,AC=AD,∠ACD=60°,則對角線BD的長不可能是( )

(A)5.3 (B)5.5 (C)6 (D)6.5

顯然,BD的最小值大于AB=3,而BD取最大值時,BD經過圓心B′.又?BAB′是正三角形,可知?BAD是直角三角形,所以BD=2AB=6,即3

(A)一直變小,且最大值為5

(B)一直變小,且最小值為0

(C)先變大再變小,且最小值為0

(D)先變大再變小,且最大值為5

分析從構造“c+3b”出發,考慮延長BA至點A″,使AA″=3b,則BA″=c+3b.

顯然,?A″AC的形狀固定:∠A″AC=120°,AC=b,AA″=3b.

易知?B″BC∽?A″AC,則∠B″BC=∠A″AC=120°,所以點B在圓M″上.

顯然有,當BA″為直徑時,c+3b最大.

《義務教育數學課程標準(2022年版)》明確指出:“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題的清晰的認識,知道數學模型……，感悟數學模型應用的普遍性.”本文正是基于這一考慮,對“連桿變換”模型的特征及應用上的技巧做了一些梳理.上述幾個問題的突破,是在探索的過程中發現其中隱藏了“連桿變換”模型,從而順利打開思路.