剖析結構 啟迪思維 聚焦素養
——一道填空壓軸題的解法探究

陳玉松

(安徽省濉溪縣城關中心學校,235100)

在解題教學中,教師應適時地引導學生從不同的角度,用不同的思維方式去觀察、聯想、分析,并根據問題的特定條件探索出多彩解題思路,使學生的思維觸角伸向不同的方向、不同的層次.這樣不僅能鞏固所學知識,還可以開拓學生的思路,較好地提升學生的數學思維和核心素養.本文以一道九年級月考填空題為例,著力從不同視角挖掘基本圖形,探尋解法的自然生成過程.

一、試題呈現

如圖1,在等腰Rt?ABC中,∠ACB=90°，AC=15,點E在邊BC上,CE=2EB,點D在邊AB上,CD⊥AE,垂足為F,則AD的長為______.

二、試題簡析

本題以等腰直角三角形為背景,主要考查三角形相似的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理以及三角函數等數學核心知識.本題條件簡潔,構圖新穎,內涵豐富,借助圖形可從多角度去思考問題.從數學能力上看,要想正確解答此題,需要學生具備分析問題和解決問題的能力.若能引導學生抓住圖形的特征條件構建基本圖形,解題自然水到渠成.

三、解法探究

視角1利用“A”型平行相似

解法1∵∠ACB=90°,CD⊥AE，

∴?ACE∽?CFE∽?AFC,

∵AC=BC,CE=2BE,

解法2如圖3,過點B作BG⊥AE交AE延長線于點G.

∵CD⊥AE,∴CD∥BG,

視角2利用“X”型平行相似

解法3如圖4,過點E作EG∥AB交CD于點G.

評注以上四種解法都通過添加平行線或垂線,構造平行相似，再結合相似三角形的性質將線段進行轉化,求得AD和BD之間的數量關系,從而解決問題.

視角3運用勾股定理及相似三角形

解法5∵AC=BC=15,CE=2BE,

在Rt?ACE中,由勾股定理,得

由解法1,可知AC2=AF·AE,

如圖6,過點E作EG⊥AB于點G,則得等腰Rt?BEG,

評注勾股定理是平面幾何中應用最為廣泛的定理.而本題中的所有線段的長都是確定的,故可利用勾股定理可求出相應線段長,再結合相似三角形即可順利求解.

視角4巧用全等三角形

解法6如圖7,過點B作BG⊥BC交CD延長線于點G.

∵CD⊥AE,∴∠CAE=∠BCG.

又AC=CB,∠ACB=∠CBG,

∴?ACE≌?CBG,∴CE=BG=10.

解法7如圖8,過點B作BG∥CD交AC延長線于點G.

∵CD⊥AE,

∴∠CAE=∠BCD=∠CBG.

∵AC=CB,∠ACB=∠BCG.

∴?ACE≌?BCG,∴CE=CG=10.

評注這兩種解法都是通過添加平行線構造全等三角形,將線段CE進行轉化,再運用平行線分線段成比例定理,巧妙地得出了線段AD和BD的比例關系,進而問題得以破解.

視角5借助三角函數

解法8如圖9,過點D作DG⊥AC于點G，則∠DCB=∠GDC.

∵CD⊥AE,∴∠CAE=∠DCB,

設CG=2x,則DG=AG=3x.

∵AC=15,∴2x+3x=15,解得x=3.

評注通過作垂線段,將?ACD分割成兩個特殊的直角三角形,通過設出未知數表示出相關線段的長,進一步構建方程,問題便迎刃而解.

四、解題反思

1.洞察圖形結構,打開思維視角

波利亞說:“學習數學的主要目的在于解題.”解題是一種本領,是一個不斷聯想,自然生長,逐步反思的過程,我們只有在模仿、實踐、總結過程中才能感悟它的真諦.在本題中,學生可根據圖形剖析結構,抓住特殊角、相等邊、三等分點、垂直等特征條件,并對其進行加工和再創造,進一步打開思維,多角度地思考問題,從而得到不同的解法.因此在日常的教學中,教師應重視基本圖形的辨識,培養學生的識圖能力,引導學生從特征條件出發,尋找基本圖形,嘗試構建圖形,從而實現思維突破.

2.感悟一題多解,發展核心素養

一題多解有助于學生思維的多向發展,是完善思維品質的有效途徑.在解題教學中,教師可選擇典型習題,引導學生根據題目的條件、結論與圖形,挖掘隱性條件,再進行重新配置與組合使學生獲得多種解題方法.如本題中,為了求出AD的長,用到了“全等三角形”“相似三角形”等數學模型,這就需要具有一定的數學建模素養;在借助三角函數解決問題時,大大簡化了計算過程,這就需要具有較高的幾何直觀素養.因此教師要融合各階段知識,引領學生深度思考,建立和完善數學知識結構體系,優化學生的思維品質,發展數學核心素養.