挖掘圖形特征 優化解題思路

于云霞 王春麗

(山東省榮成市教育教學研究中心,264300) (山東省榮成市實驗中學,264300)

一道好的數學題,既能考查學生的基礎知識和基本技能,又能提升學生學科的核心素養.在解題教學中,充分挖掘題目內在的數學思想和方法,發揮其應有的功能和價值,必能拓寬學生的解題思路.本文以2019年浙江省富陽市中考模擬試卷第20題為例,談談如何引導學生挖掘圖形特征,優化解題思路,形成解決幾何問題的基本策略.

一、試題呈現

如圖1,已知?ABC是等邊三角形,CE是外角平分線,點D在AC上,連結BD并延長,與CE交于點E.

(1)求證:?ABD∽?CED;

(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的長.

二、試題分析

此題不僅考查了學生對等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質、銳角三角函數等知識點的掌握情況,還考查了學生對轉化、數形結合、幾何直觀等數學思想方法的運用能力.

本題第(1)小問比較簡單,略.下面只對第(2)問進行解法探究.

三、解法展示

1.利用銳角三角函數解斜三角形

解法1如圖2,過點E作EM⊥BF,垂足為M.

∵?ABD∽?CED,AD=2CD,

∵AB=6,∴CE=3.

在Rt?CEM中,∠ECM=60°,

解法2如圖3,過點B作BM垂直于EC交EC的延長線于點M.

在Rt?BCM中,∠BCM=60°,BC=6,

在Rt?BME中,

∵EM=CM+CE=3+3=6,

說明在斜?BCE中,已知兩邊及兩邊的夾角,通常作垂線,將斜三角形的問題轉化為直角三角形問題來解決.

解法3如圖4,過點B作BM⊥AC,垂足為M.

在Rt?ABM中,∠A=60°,AB=6,

∵AD=2CD=4,∴DM=1,

∵?ABD∽?CED,

解法4如圖5,過點E作EM⊥CD,垂足為M.

∵∠ECM=60°,CE=3,

∵?ABD∽?CED,

解法5如圖6,過點D作DM垂直BC,垂足為M.∵∠DCB=60°,DC=2,

∵BC=6,∴BM=BC-CM=5,

∵?ABD∽?CED,

說明在幾何解題教學中,通過作三角形的內高或者外高,如圖7“背靠式”、圖8“疊合式”將斜三角形轉化為直角三角形來解決問題,體現了化“斜”為“直”的數學思想.

2.構建“手拉手”模型

解法6如圖9,取CG=CE,連結AG,過點A作AM⊥BC,垂足為M,則由AC=BC,∠ACG=∠BCE=120°,可得?ACG≌?BCE,∴AG=BE.

∵BC=AB=6，

在Rt?AMG中,MG=CM+CG=6,

說明如果題目中出現共頂點、等線段條件,我們可以選擇構建“手拉手”模型來解決問題.

四、解后反思

1.認識基本圖形,回歸本源思考

在幾何題目中,經常會出現結構簡單內涵卻很豐富的基本圖形,這些圖形往往會蘊含一些靜態的數量關系，因此，認識并理解這些基本模型,有利于提升學生的高階思維能力.此題在解斜三角形的時候,由已知條件可以得到斜三角形的兩邊及其夾角(用“SAS”表示),可將探究三角形全等的方法進行有效遷移,來解決有這樣特點的斜三角形.在教學中,教師可以引領學生對知識進行拓展,若斜三角形中已知元素為“AAS”如圖10,“ASA”如圖11,“SSS”如圖12,“SSA”如圖13和圖14,即斜三角形滿足已知兩角一邊或者兩邊一角,或者三邊的條件,也是可解的.

2.優化解題思路,把握通法通則

在解題過程中,如果我們能夠對問題進行多角度的思考,優化解題思路,就能夠激發學生思維的靈活性,形成解決問題的通性通法.在具體解題過程中我們會發現,許多題目中的基本模型都會缺失部分元素,需要學生添加輔助線將其補全,這時就需要學生具有幾何直觀能力和空間想象能力,從不同的切入點聯想幾何模型,產生豐富多彩的構圖方案,繼而得到不同的解題思路.例如，此題要求的是線段BE的長度問題,已知條件中有等邊三角形,可以建立學生最熟悉的手拉手模型,通過轉化的思想,將邊BE轉化為直角三角形的斜邊長,借助勾股定理解決問題.另外,函數思想是貫穿于代數和幾何兩大領域的重要數學思想,在解決線段長度的問題時,數形結合不失為一種解決問題的基本方法.

總之,解題過程中,我們只有實現“怎樣做”到“怎樣想”的轉變,弄清思想方法的來源,挖掘基本圖形特征,把握通法通則,才能夠在解題的過程中以不變應萬變,真正將數學核心素養落到實處.