一道幾何題的解法探究與反思

史增習(xí)

(浙江省慈溪市橫河初級中學(xué),315318)

2021年期末復(fù)習(xí)時,筆者評講了一道幾何題,在講完這道題后,感覺意猶未盡,在課后作了進(jìn)一步研究,并積累了一些心得.現(xiàn)將所得心得整理成文,與各位同行交流分享.

一、原題呈現(xiàn)

如圖1,E,F,G,H分別是矩形ABCD四條邊上的點,連結(jié)EG,HF交于點O,EG∥AD,FH∥AB,矩形BFOE∽矩形OGDH,連結(jié)AC分別交EG,FH于點P,Q.下列一定能求出?BPQ面積的條件是( )

(A)矩形BFOE和矩形OGDH的面積之差

(B)矩形ABCD與矩形BFOE的面積之差

(C)矩形BFOE和矩形FCGO的面積之差

(D)矩形BFOE和矩形AEOH的面積之差

二、總體分析

這是一道以相似矩形為背景的具有寧波特色的PISA題,旨在考查學(xué)生觀察能力、邏輯推理能力、計算能力等核心素養(yǎng),同時要求教師在教學(xué)過程中,應(yīng)把握問題實質(zhì),實施針對性、導(dǎo)向性教學(xué),讓學(xué)生跳出題海煩惱.

三、解法探究

1.代數(shù)法

解法1設(shè)OH=a,OG=b,矩形BFOE與矩形OGDH的相似比為k,則BE=ka,BF=kb.

∵EP∥BC,∴?AEP∽?ABC,

∴EP=b,PO=kb-b.

同理,可得QF=a,OQ=ka-a,

∴S陰影=S矩形EBFO-S?EBP-S?BFQ-S?POQ

而k2ab為矩形EBFO的面積,ab為矩形HOGD的面積,故答案選A.

2.幾何法

解法2如圖2,連結(jié)EH，HG.

由矩形BFOE∽矩形OGDH,可得矩形ABCD∽矩形HOGD，∴?ADC∽?HDG,∴∠DAC=∠DHG,∴HG∥AC.

∵EG∥BC,∴∠HGO=∠APE=∠ACB,

∴?HOG≌?AEP≌?QFC,

∴S?HEG=S?QBC.

∴S陰影=S?PBC-S?QBC=S?PBC-S?HEG

∵矩形HOGD∽矩形EBFO,

∴OG·OF=HO·AH,

即S矩形OFCG=S矩形AEOH,

故答案選A.

解法3不難發(fā)現(xiàn),?BPQ是兩個大?ABQ與?PBC的重疊部分,

∴S陰影=S?ABQ+S?PBC-S?ABC

故答案選A.

四、解題反思

1.對于PISA題,我們通常可以從代數(shù)和幾何兩個視角入手解決.代數(shù)法只要增設(shè)一些變量,雖然思維含量小,操作相對簡單,但在解題過程中,往往計算量較大,對考生的計算能力有較高的要求.而幾何法,思維含量大,旨在考查學(xué)生的觀察能力和邏輯推理能力等思想方法,但一旦想到,答案水到渠成.以上兩種方法各有千秋,在平時教學(xué)中,教師應(yīng)多引導(dǎo)、多比較.

2.由解法2,可知相似矩形(多邊形)的知識,往往通過添加輔助線,利用邊、角關(guān)系,化歸為相似三角形、全等三角形等知識.在九上“相似多邊形”的教學(xué)中,很多教師為了趕進(jìn)度,只要求學(xué)生機(jī)械記憶相似多邊形的邊、角性質(zhì),并配套一些簡單的題目加以鞏固,草草了事.這種教學(xué)方式,學(xué)生只能解決一些簡單的題目,并沒有把學(xué)生的思維向深度發(fā)展,一旦遇到綜合題,學(xué)生就束手無策了.因此,在平時教學(xué)中,教師應(yīng)多研究教材,多總結(jié)思想和方法,多整合教學(xué)資源.

3.由解法3,不難發(fā)現(xiàn)條件“矩形BFOE∽矩形OGDH”多余.因此,我們可弱化條件,把此題改為:如圖1,E,F,G,H分別是矩形ABCD四條邊上的點,連結(jié)EG,HF交于點O,EG∥AD,FH∥AB,連結(jié)AC交EG,FH于點P,Q.下列一定能求出?BPQ面積的條件是( )

(A)矩形BFOE和矩形OGDH的面積之差

(B)矩形ABCD與矩形BFOE的面積之差

(C)矩形BFOE和矩形FCGO的面積之差

(D)矩形BFOE和矩形AEOH的面積之差

由解法3,利用幾何法已經(jīng)得證.現(xiàn)通過代數(shù)法進(jìn)行證明.

設(shè)OH=a,OG=b,OE=c,OF=d.

∵EP∥BC,∴?AEP∽?ABC,

∴S陰影=S矩形EBFO-S?EBP-S?BFQ-S?POQ

故答案依舊是A,說明原題中相似條件是多余的.

解題是數(shù)學(xué)教師的基本功,教師良好的解題能力將直接影響學(xué)生的解題水平和思維能力的培養(yǎng).在平時教學(xué)中,教師不應(yīng)就題論題,而應(yīng)從多角度去分析問題,并及時總結(jié)思想方法,逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,讓學(xué)生真正脫離題海戰(zhàn)術(shù),把核心素養(yǎng)落實到教學(xué)實處.