圖形疊加生成 定性定量探究*
——以福建省2021年中考數學第24題為例

林紅梅

(福建省莆田文獻中學,351199)

對照《義務教育數學課程標準(2011年版)》中的“圖形與幾何”知識領域的要求,平面幾何復習專題的設計應考慮精選的試題通過哪些基本圖形的生成疊加來引導學生研究圖形;通過后續怎樣的變式，探究一般化思路,來滲透數學思想方法和培養學生關鍵能力;通過怎樣的內調外聯形成結構化體系來發展學生的核心素養,如此層層遞進,螺旋提升.本文以2021年福建省中考數學第24題為例,談談如何發揮試題的內涵與外延的價值.

一、試題呈現

如圖1,在正方形ABCD中,E,F為邊AB上的兩個三等分點,點A關于DE的對稱點為A′,AA′的延長線交BC于點G.

(1)求證:DE∥A′F;

(2)求∠GA′B的大小;

(3)求證:A′C=2A′B.

本題是一道幾何綜合題,涉及正方形的性質、軸對稱的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質、圓的定義等知識點,主要考查學生化歸、數形結合等數學思想,以及幾何直觀、邏輯推理等核心素養,能夠較好地體現選拔功能.

二、分析求解

1.化繁為簡,拆分圖形,反向有序生成試題圖形

將圖1逐步拆分,還原圖形生成過程,從定性角度研究基本圖形及其疊加后的構成要素及相關要素之間的結論.

評注從圖2到圖5,通過基本圖形有順序、有層次的組合疊加來對靜態幾何圖形的定性研究,是數學直觀想象、邏輯推理素養的表現.

2.對于靜態幾何圖形,從定性研究轉化到定量表述

量化是數學的思維方式之一.將靜態幾何圖形相關元素的定性結論用某一個量表述——這個量可以是數值或數對,則意味著可以把握圖形的變化規律.這是圖形研究中確定性思想的表現.

三、變式探究

1.變換的不變性

將原題中的條件“E為AB三等分點”變式為“點E在AB上運動”,則對稱軸DE不確定,因此點A′的位置不確定,在此過程中研究點A在運動過程中相關元素保持的不變性.

變式1如圖7,在正方形ABCD中,E為邊AB上的一動點,點A關于DE的對稱點為A′,AA′的延長線交BC于點G.問:(1)求點A′的運動軌跡;(2)求∠GA′C的大小;(3)若AB=3,求A′B的最小值.

變式2如圖8,在正方形ABCD中,E為邊AB上的三等分點,點A關于DE的對稱點為A′,將直角∠GA′F繞點A′旋轉,直角邊A′G交BC于點G,直角邊A′F交AB于點F,連結FG,A′B.若AB=3,求FG的最小值.

2.變換中滿足特定條件下的定性結論或定量結果

將原題中的核心條件∠GA′F=90°保持不變,讓點E在邊AB上運動.

抓住變式1中∠CA′G=45°這個不變量,可以構造等腰直角三角形作為命題的走向.

3.一般化條件后的系列結論

變式5如圖12,在矩形ABCD中,AD=3,E為邊AB上的一動點,點A關于DE的對稱點為A′,連結A′A并延長交BC于點G,過點A′作A′F∥DE交AB于點F,連結A′B.問:當∠GA′B=45°時,求BF關于AE的函數關系式.

若簡化圖形,只討論軸對稱變化,可以繼續延續探究變換中幾何量間的函數關系.

變式6如圖13,在矩形ABCD中,AD=3,E為邊AB上的一動點,點A關于DE的對稱點為A′,連結A′B.問:當AA′=A′B時,AB的最大值是多少？

簡析如圖13,過點A作MN⊥AB于點N,交DC于點M,連結DA′,則A′D=AD=3.當AA′=A′B時,點A′在AB的垂直平分線上,則N為AB的中點.

當然圖形的一般化與特殊化不僅僅體現在圖形變換過程中某一相對靜止時刻的一系列結論,也可以指某些核心條件一般化后產生系列結論的脈絡和線索.例如點E的運動軌跡可進一步一般化,但仍有點A′的運動軌跡保持不變,進而繼續探究變換中滿足特定條件下的定性結論或定量結果.

變式7如圖14,在正方形ABCD外側作直線DE,點A關于DE的對稱點為A′,連結AA′,CA′,其中CA′交直線DE于點O.若0°<∠DAA′<90°,用等式表示線段OA′,OC,AD之間的數量關系.