也談反比例函數背景下三角形面積問題新解

高愛香

(山東省鄒城市第九中學,273500)

筆者拜讀了貴刊上的文獻[1]及[2],受益匪淺.本文受文[2]的啟示,在文[1]的基礎上通過深入探究、推演,得到反比例函數圖象上任意兩點與坐標原點(三點共線除外)連結而成的三角形面積的計算公式,并利用此公式快捷地解決相關中考試題.

一、三角形面積公式及其推導

文[1]給出了函數背景下斜三角形的面積公式:

①

②

證明由A，B為直線y=ax+b(a≠0)上的兩點,可知

b=y1-ax1

由公式①,得

二、公式應用

上述公式簡潔對稱,形式優雅,易于記憶.我們只要知道反比例函數的解析式及其圖象的任意兩點的橫坐標(或這兩點橫坐標的倍分關系),就可求出雙曲線上任意兩點與原點(三點共線時除外)連結而成的三角形的面積.下面通過中考實例說明其應用.

例1(2021年南充中考題)如圖2,反比例函數的圖象與過點A(0,-1),B(4,1)的直線交于B,C兩點.

(1)求直線AB和反比例函數的解析式;

(2)已知點D(-1,0),直線CD與反比例函數圖象在第一象限的交點為E,直接寫出點E的坐標,并求?BCE的面積.

由D(-1,0),C(-2,-2),可得yCD=2x+2.

∴E(1,4).

如圖2,連結OB,OC,OE.

由公式②,得

S?BCE=S?BOC+S?COE+S?BOE

解析如圖3,過點C向x軸作垂線,交x軸于點E,連結OD,則CE∥AB.

∵C是OA的中點,

∴S?COD=S?ACD=2,

即點D的橫坐標是點C橫坐標的2倍.

由公式②,得

由公式②,得

又?ABP的面積是?AOB的面積的2倍,

∴t2+t-2=±2t.

當t2+t-2=2t時,解得t=2;

當t2+t-2=-2t時,

∴x2+bx-1=0.

∴A,B兩點的橫坐標分別為

由公式②,得

兩邊平方,得b4+4b2-12×16=0,

∴(b2-12)(b2+16)=0,

評注例3、例4中的常規解法,需要進行分類討論.例3分點P在點B的上方或下方兩種情況進行解答;例4按直線y=x+b交于y軸的正半軸或負半軸進行分類討論.部分學生由于受思維定勢的影響出現了漏解的情況,而運用本文中兩則公式解答則可避免因分類討論而產生漏解的情況,提高了解題的準確性.

解析由反比例函數的中心對稱性,可知OA=OB.

如圖5,連結OE,則由直角三角形斜邊的中線的性質,可以推出?AOE為等腰三角形,∴∠OEA=∠OAE=∠EAC, ∴OE∥AC.

連結OD,則S?OAD=S?EAD=8.

分別過A,D兩點向x軸作垂線,交x軸于點F,G,則有AF∥DG,

∴AF∶DG=CA∶CD=3∶1,

∴AF=3DG.

整理,得k=6(負值舍去).

三、結束語

在解決數學問題的過程中,我們除了能熟練、合理、靈活地運用課本上直接或間接給出的結論外,還應該重視從課本例題以及有關數學試題中提煉出來的結論.這些結論,對幫助我們快速找到解題的思路或突破口,特別對選擇、填空題,往往能起到事半功倍的效果,同時也是培養學生應用意識的一個有效途徑.因此,教師在教學過程中,不僅要注意引導學生學會應用數學結論解決數學問題,同時也要注意引導學生去發現數學結論,并及時提煉總結數學結論,進而應用發現的數學結論指導我們解決問題.這不僅有助于激發學生的學習興趣,提高解題效率,而且對發展學生的數學思維能力,培養數學創新意識、應用意識具有重要的現實意義.