再探拋物線中的“蝴蝶之謎”

萬建光 李佳一

(湖北省武漢市吳家山第三中學,430040) (湖北省襄陽市第一中學,441099)

袁晶老師在文[1]中給出的拋物線中的“蝴蝶之謎”是由圓中的蝴蝶定理類比而來,并給出了兩種方法解開了其中的奧秘.拋物線也是一種軸對稱圖形,能否有更一般性的結論?有沒有其他更加簡捷易懂的解法?圖形中還有哪些結論?筆者為此深入探究,發現原文中的焦點F的位置可以更一般化,只需滿足在拋物線的對稱軸上即可.現將相應的結論及其推廣整理成文,與讀者分享.

結論1如圖1,過點F(0,m)任意作兩條弦分別與拋物線y=ax2(a>0)交于點A,B,C,D,連結AC,BD交直線y=m于M,N兩點,則點M,N關于點F對稱.

證明不妨設直線AB的方程為y=k1x+m,設點A,B,C,D的橫坐標分別為xA，xB,xC,xD.

評注這種證法借助幾何直觀,將拋物線上點的坐標的關系顯性化,不僅避免了復雜的計算,而且可以領略圖形的簡潔美和結論的奇異美.

如圖3,若連結AD,BC,又見蝴蝶翩翩起舞,用同樣的思路繼續研究,不難繼續推廣得到拋物線中隱含的另一個重要結論:

結論2如圖3,過點F(0,m)任意作兩條

弦分別與拋物線y=ax2(a>0)交于點A,B,C,D,連結AD,BC分別交y軸于G,H兩點,設點A,B,C,D的橫坐標分別為xA,xB,xC,xD.則有

由直線AB，CD交y軸于點F(0,m)，可得到m=-axAxB=-axCxD；由直線AD，BC分別交y軸于點G，H，可得到yG=-axAxD,yH=-axBxC.