利用函數對稱性與周期性的關系解題

楊 婷

(甘肅省慶陽市北京師范大學慶陽附屬學校，745200)

函數圖象的對稱性和周期性是函數的兩個重要性質,許多函數問題常常需要利用兩個性質的關系來求解.本文先歸納、證明這兩個性質關系的幾個基本結論,再舉例說明這些結論在求解相關問題中的應用.

一、基本結論

結論1若函數y=f(x)的圖象分別關于兩條直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=2|a-b|為y=f(x)的一個周期.

結論2若函數y=f(x)的圖象分別關于兩點A(a,0),B(b,0)(a≠b)對稱，則y=f(x)是周期函數,且T=2|a-b|為y=f(x)的一個周期.

結論3如果函數y=f(x)的圖象關于點A(a,0)和直線x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=4|a-b|為y=f(x)的一個周期.

幾個結論的證明具有一定的相似性,下面僅以結論3為例,給出證明.

因為y=f(x)的圖象關于點A(a,0)對稱，設P(x1,y1),Q(x2,y2)為y=f(x)上任意一對對稱點,則x1+x2=2a且y1+y2=0.所以y2=-y1,即f(x2)=-f(x1),亦即f(2a-x1)=-f(x1).由x1的任意性,可知f(x)=-f(2a-x)對定義域內的所有x成立.

又因為函數y=f(x)的圖象關于直線x=b對稱,同理可知f(x)=f(2b-x)對定義域內的所有x成立.

于是,對定義域內的所有x,恒有f(2b-x)=-f(2a-x).

所以f[2b-(2a-x)]=-f[2a-(2a-x)]=-f(x),即f[2(b-a)+x)]=-f(x).進而f{2(b-a)+[2(b-a)+x]}=-f[2(b-a)+x]=f(x).即f[4(b-a)+x]=f(x).可見y=f(x)是周期函數，且T=4|a-b|為f(x)的一個周期.

二、應用舉例

1.求函數值

例1已知f(x)為R上的奇函數，并且f(x)+f(2-x)=0,當-1

解由f(x)為R上的奇函數，得f(x)圖象關于點(0，0)對稱；又由f(x)+f(2-x)=0,得f(2-x)=-f(x),即f(x)圖象關于點(1，0)對稱.由結論2，可知y=f(x)是周期函數，且以T=2|1-0|=2為函數f(x)的一個周期.

例2已知定義域為R的可導函數y=f(x)滿足f(4-x)=f(x),且f(8-x)=f(x),則曲線y=f(x)在x=2 022處的切線的斜率為( )

(A)2 022 (B)2 021 (C)1 (D)0

解由f(4-x)=f(x)，可知f(x)圖象關于直線x=2對稱；由f(8-x)=f(x)，可知f(x)圖象關于直線x=4對稱.所以由結論1可知函數f(x)和它的導函數f′(x)都是R上的周期函數，且T=2|2-4|=4為它們的一個周期.

因為f(x)圖象關于直線x=2對稱，所以f′(2)=0.又2 022=505×4+2,于是……