初中數學中三角下放的探索
——張景中教育數學思想的實踐研究

周國飛

（甘肅省敦煌市第二中學，甘肅 敦煌）

數學是一門基礎學科，數學與物理、化學、生物學、醫學、天文等息息相關，并為其提供基礎思維方式。數學發展的滯后會影響科技的進步和社會的發展，而數學發展的關鍵在于數學教育。近年來，在教學教育方面的改革此起彼伏，從教育理念、教學內容、課程設計、素養評價方面都做了大量卓有成效的嘗試，其中數學家張景中的教學思想便是著眼數學前沿發展和基礎教學結合視角的典型，對初中數學教學具有重要指導意義。

一、張景中的教學思想

張景中院士提出的教育數學思想促進了中學數學教育改革。張景中院士是我國著名的數學家、教育家，早年曾是一名中學教師，多年的教學經歷讓張院士既可以以一名教師的角度思考數學，又有數學家的高度研究教育。結合一線教師的教學實際，不斷完善數學教材改革方案，又不斷創作科普讀物，用生動、通俗的故事和數學家的眼光普及數學知識。在《從數學教育到教育數學》中，張先生提出數學教育改革要注重教育成果的再創造，從而形成方向和學科，特別是將平面幾何的面積法下放到七年級，可以提高學生解決問題的能力，培養學生的學習興趣，鍛煉學生的邏輯思維能力。

二、初中數學教學的困惑

筆者從事數學教學已經21年，使用過的版本有人教版、華東師大版和北師大版，對比近幾年教材的變化，筆者發現在教材體系中幾何的占比大大減少：重心、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理、圓與圓的位置關系等在初中階段已全部刪減；幾何中的例題越來越簡單，大部分是基礎證明題，對技巧性的要求比較低；個別定理、例題是利用驗證、比對和實驗的結論得出的，沒有嚴格的推理論證，學生知其然，不知其所以然，沒有體現出思想方法，不利于學生思維的培養。

張景中院士的教育數學思想，將數學思想滲透到數學實踐中，使數學知識和思想在數學課堂中有了相輔相成之效。初中數學教學應有意識地挖掘知識背后的思想，從而使數學學習充盈思維自身的活力，學生能夠運用思維轉化的力量，將較為復雜而生疏的問題逐漸轉化為簡單而熟悉的內容，這樣就能切實提高其解決實際問題的能力，并取得數學學習方面的進展。聯系生活實際引出數學問題，解答初中數學教學中的疑惑，這恰恰是張景中院士在數學教學中所倡導的思想，學生學會了主動地分析，利用畫圖或自我糾正巧妙解決數學問題?，F階段的教材采用的是歐幾里得的《幾何原本》。而近些年以來，數學教育在歐美、亞洲等地區都遇到困難，學生學習的興趣降低，解題能力下滑，優秀的學生不再喜歡數學，連奧林匹克優勝者都不肯學習數學了。張院士根據教學實踐指出：“數學教育面臨的困難是多方面的，其中最重要的原因就是數學本身就難?！?/p>

面對這樣的困境，張院士指出：“如果數學教育面臨的困難來自數學知識本身的不足，這個困難就不可能由數學教育的努力而從根本上加以克服，只有數學上的創造活動，才能解決問題?！睘榇耍瑥堅菏刻岢鼋逃龜祵W的概念。教育數學就是遵循教育的普遍規律，針對不同的教育目的和功能，對數學成果再創造，讓每個學生都能得到不同的發展。數學教育只注重數學本身，著眼于數學的輸出和輸出的技巧，即教學的方法；而教育數學是對數學成果的再創造，需要數學創新。教育數學是對數學教程的再優化：優化教材內容、優化呈現方式、優化測評內容。為了詮釋這個宗旨，張院士提出了“把數學變容易”的口號。

三、三角下放在教學中的應用

基于教育數學優化教程的思想，張景中院士提出將三角形下放的建議。三角在幾何中處于核心位置，它是解決數學圖形的基本工具，三角形全等和三角形相似的相關定理貫穿了四邊形、圓的計算和證明；它也是將代數與幾何緊密地聯系到了一起；一次函數、二次函數、平面坐標系等重要的數學概念、計算都在運用三角知識；國旗的測量、燈塔有多高等實際問題的解決也需要三角的相關知識。

為了解決數學學習中的難題，優化建議是在數學教學中非常重要的突破口，教師一定要采用更多的教學方法，讓學生有新穎的解題思路，原有的教學方法如果過于刻板應逐漸改善，幫助學生判斷數學問題的基本要素，找出數與數之間的數量或空間關系，滲透初等數學和高等數學之間連貫性的內容，克服原有的思維定式。在現有的思維過程中解決實際問題，完善思維過程，創設數學情境，實現新概念的理解，才能夠使學生的數學思維瞬間被打通，防止學生將錯誤的理解帶入新知識中。張院士提出優化的具體建議：“教育數學追求的目標是：簡單明快的邏輯結構，平易直觀的概念和有力通用的解題方法?！痹趲缀晤I域，他利用面積法重新定義了三角，從根本上優化了幾何的架構，從概念的定義、邏輯結構、解體思路進行創新。面積是基礎，三角是手段，創新解題思路、讓幾何變簡單是目的。面積法是張院士教育數學思想的結晶，三角是數學“數形結合”思想的體現，是聯系幾何代數的橋梁，為初等數學和高等數學的溝通搭建平臺。張院士打破常規，以面積為基礎，以三角入手，拋開在直角三角形中研究正弦的框架，提出了正弦的新概念。

他利用將正方形壓扁成小菱形的過程，形象地給出了正弦的概念：“我們將有一個角為∠A的單位菱形（邊長等于1）的面積，叫作∠A的正弦。記作：sin∠A或sinA?！边叾嫉扔?的四邊形叫作單位菱形。單位菱形面積是度量平行四邊形面積的“工具”，其面積由夾角的大小確定。新的定義簡單、直觀，讓學生眼前一亮，豁然開朗。張奠宙先生曾這樣評價：“張景中先生建議在小學用菱形面積引入正弦是一項重大的創新?！闭壹热贿@樣定義，那么離開直角三角形余弦怎么定義？張院士巧妙地利用正弦與余角的概念進行定義：“一個角的余角的正弦，叫作這個角的余弦。”既定義了余弦，又推導出了正余弦之間的關系：cosα=sin（90°-α）。

在其他版本的數學教材中，正弦定理是三角相似之后才出現的，是解決直角三角形的邊角關系，沒有參與幾何證明。張景中先生不束縛于歐幾里得的幾何體系，利用正弦定理建立了一套學生更容易掌握的數學邏輯結構。

（一）正弦定理與直角三角形的邊角關系

在直角三角形ABC中，我們利用直角三角形的面積算兩次的方法，通過簡單推理就可以得到銳角正弦的定義：在直角三角形中，銳角的正弦等于這個角的對邊與斜邊之比。

也可以進一步驗證正余弦之間的關系：cosA=sinB。

（二）正弦與三角形全等和三角形相似

在證明三角形全等的判定定理中共有五個定理：邊邊邊、邊角邊、角邊角、角角邊和直角三角形的斜邊直角邊定理。這五個定理在七年級學生學習時，既是重點也是難點。在七年級教學時，主要通過尺規作圖來對比驗證定理的存在性，也是尺規作圖的依據。

幾何入門，畫圖理解定理是基本方法。在北師大三角形全等判定定理教學時，我們要求學生以邊邊邊定理作為尺規作圖依據，按照條件：ASA、SAS、HL，畫出符合條件的兩個三角形，剪下這兩個三角形，它們重合。

先學正弦定理，我們可以嚴密證明SSS、ASA、AAS、HL，間接證明SAS。這對學生邏輯思維能力和推理能力的培養是一個很大的改進。當然，在七年級教學中，直觀畫圖理解與三角法證明要相結合。

在相似中，對于相似判定定理的教學，要借助三角形相似的性質：“相似三角形，三邊對應成比例?！睌祵W家項武義將其稱為“相似形基本定理”（見《古典幾何學》第25頁）。“重建三角”的優越性就在于：我們利用正弦定理，可以簡明證明這一定理。學生提前掌握這一定理，奠定了三角形相似的學習基礎。順理推出相似三角形的概念。那么，利用兩角相等判定三角形相似就可以被“發現”了。事實上，基本定理“兩角對應相等的三角形相似”是初中幾何應用頻率最為廣泛的定理之一。

對于基礎較好的學生，可以在七年級滲透“相似形基本定理”，但相似三角形的相關知識可以不出現。

（三）正弦定理與共高定理、共邊定理、共角定理

對于三角下放的思想中，張景中先生提出“三共”方案。

共高定理是七年級必講的內容，學生比較容易理解，可以在七年級開始進行滲透。特別是結合函數面積問題進行有針對性訓練。對于共邊定理、共角定理，部分省市中考題也有涉及，可以在平時練習中進行針對性訓練。

四、結語

在廣州等地嘗試性的課堂教學實踐表明，用面積定義正弦具有可行性。教育數學重新定義了正弦，又利用正弦定理貫穿了三共定理、三角形相似與全等、直角三角形邊角關系，搭建起了新的幾何體系。張院士的正弦概念已經在科學性方面證明了合理性，但教學效果需要一線教師來實踐。我校實驗教師首先在七年級的一個普通班進行了角的正弦的教學實驗課。課堂教學表明，用“面積”“折扣”的方式比較直觀，符合七年級學生認知心理，降低了教學臺階，學生掌握新概念比較順利。又在生源不同的另外兩個班做了六個課時更深入的教學實驗。實驗表明，在初中七年級用菱形面積引入正弦是可行的，有利于培養學生數形結合的數學思維。直面教育難題，根據數學教育的目標，將三角下放，優化學生的數學認知結構，對數學進行概念重構與體系重建，將會翻開數學教育改革的新篇章。