專注問題根源 探究最佳方案

［摘? 要］ 在高三第二輪復習時，除了鞏固第一輪復習的知識和技能外，有必要進行一些專題訓練，從而借助于習題進行有效的拓展和延伸，豐富學生的解題經驗，提高學生的解題能力. 同時，借助于習題所反饋的問題及時進行錯因分析，找到出錯的根源，進而從問題的根源出發，找到行之有效的解決方法，從本質上幫助學生提高解題效率.

［關鍵詞］ 高三數學；第二輪復習；習題；根源；效率

眾所周知，數學題目千變萬化，變更一個數字、更改一下圖形就變成了一道全新的題目，所以數學習題是刷不完、講不盡的. 為了發揮習題的價值，教師在例題的選擇上要做到精挑細選，在講解時要做到細致全面，尤其在高三復習階段更要做到精益求精. 既要關注問題的本質，又要重視外延拓展，從而利用一個問題將與之相關的一系列問題進行串聯，通過有效梳理鞏固知識脈絡，提升學生的知識遷移能力. 因此，例題的選擇被認為是評判教師專業水平的重要依據，是保障習題教學有效性的前提.

筆者以一節復習課為例，借助于錯誤挖掘教學中存在的不足，從而引導學生深入問題的本質去思考和解決問題，從而在釋疑的同時幫助學生完成知識的再建構，有效地提升學生的解題能力.

發現問題

在復習關于y=Asin（ωx+φ）的圖像和性質時，教師帶領學生復習了相關知識點后，給出了這樣一道例題：

例1 求函數y=2sin－2x+的單調遞增區間.

從學生的反饋中教師發現了以下幾個問題：

（1）將遞增區間看成了遞減區間；

（2）將－kπ寫成－2kπ；

本題并不是一道復雜的題目，課前又進行了相關知識點的復習，然解題效果并不理想，是什么原因造成學生在求解時出現了如此多的錯誤呢？

分析問題

基于上面的問題，筆者進行了調研并做了深度分析，發現出現這些問題的原因與教師平時的教學習慣息息相關：大多數教師僅在新授課時會引導學生運用“五點作圖法”繪制函數y=Asin（ωx+φ）的圖像，然解題時感覺作圖會浪費時間，為此大多運用整體思想求解，久而久之，學生就失去了應用圖像解決問題的意識，從而使解題思路存在一定的局限性. 同時，大多數學生對復合函數思想的應用不夠靈活，解題時只會按部就班地照抄照搬，當問題略有變化時就不知道如何入手了. 例如，本題中當ω為負值時，學生就出現了大量的錯誤.

問題根源

受教師經驗主義的影響，教師習慣應用復合法來求解相關的問題，對圖像法的關注度不夠，因此學生也習慣應用復合法. 同時，研究考試大綱，分析教材，發現其并未對復合法提出過高的要求，因此未進行專項練習，課本上的練習針對的也都是A和ω都為正數的情況. 由于對復合函數的關注度不夠，學生對此類問題也只是一知半解的了解，并未學懂吃透，所以在應用復合函數思想解決問題時就因考慮不周而造成了錯誤.

例2為課本中的一道例題，求解時應用了復合法. 根據求解步驟發現該過程較簡單，易于操作，因此學生在潛意識里認為該方法就是最優的解決方法. 與此同時，大部分教師認為繪圖只是一個輔助手段，作為需要具體求解的常規題目不適宜應用繪圖法. 另外，繪圖過程較煩瑣，為了圖方便，很多教師也不愿意應用繪圖法進行講解，久而久之，學生在復習時已經忘了解決此類問題可以應用“五點作圖法”. 教師為了追求規范和簡約，解題時重點應用復合法，然該方法表面上看簡約，思維過程卻較復雜，極易造成思維障礙，加上學生的生搬硬套，求解例1時出現那些問題也就不足為奇了.

解決問題

眾所周知，在解決復雜的代數問題時往往可以借助于圖形的直觀化來尋找解題的突破口，這樣“以形助數”使問題更加生動、直觀，更易于形成解題思路. 在復習函數y=Asin（ωx+φ）的性質時，教師可以帶領學生回憶“五點作圖法”. 從圖像出發，借助于圖像幫助學生理解抽象的代數問題，進而規避復合法所帶來的運算風險及思維障礙，極大程度地降低錯誤率，提高學生的學習成績.

教師帶領學生復習了相關的知識后，不要急于讓學生求解例1，可以將例1拆分成若干問題，借助于分層問題引導學生關注圖像法. 分層問題如下：

（2）觀察函數f（x）的圖像，并結合函數的周期性，寫出f（x）的單調區間.

（3）仔細觀察函數f（x）的單調遞增區間與單調遞減區間的長度，看看它與什么相關聯.

（4）你知道區間端點與對稱軸是什么關系嗎？

（6）結合函數f（x）的圖像，寫出f（x）的對稱軸和對稱中心.

設計意圖：通過以上問題引導學生應用“五點作圖法”繪制函數圖像，回歸原始的解題方法，以函數的周期性為切入點，引導學生總結歸納出函數y=Asin（ωx+φ）的性質，進而借助于特殊函數體會一般結論，深入理解函數的周期性、單調性，挖掘出對稱軸、對稱中心與最小周期的聯系，從而鞏固原有認知.

設計意圖：根據例1的錯解可知，很多學生之所以會產生錯解就是因為在應用復合法求解時并沒有深入理解A或ω為負數時該如何求解，因此借助于變式練習題幫助學生利用圖像法觀察A或ω為負數時函數圖像的變化，進而避免學生因盲目套用而出現再錯現象.

問題延伸

問題延伸對高三復習階段來講至關重要，便于學生掌握應試技巧，豐富原有認知，完善認知體系. 教師在幫助學生理清問題的來龍去脈后應將問題拓展開來，進而提升學生的解題能力.

設計意圖：本題是一道基礎題，主要目的是培養學生的直觀思維能力，通過觀察找到函數周期變化規律，進而找到解題的突破口，順利求解.

延伸2：圖2是函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，φ<π）的部分圖像，求函數f（x）的解析式（參考正弦函數y=sinx的圖像）.

延伸3：圖3是函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，φ<π）的部分圖像，求函數f（x）的解析式（參考正弦函數y=sinx的圖像）.

設計意圖：將延伸2和延伸3形成對比，以原始的函數圖像入手，讓學生從函數的周期變化中深化理解函數y=Asin（ωx+φ）的性質之間的關系，引導學生回歸問題的本源，從問題的本質出發去思考和解決問題. 同時，通過圖像培養學生數形結合意識，引導學生養成善于利用數形結合法解決問題的好習慣.

設計意圖：延伸4用文字語言描述了圖像的變化規律，引導學生將文字語言轉化為圖像語言，體會符號語言、圖像語言和文字語言相互轉化的過程，進而培養學生的轉化意識，引導學生解題時合理應用轉化思想，化繁為簡，進而培養思維的變通性.

教學反思

數學的教學目標不能局限于提高高考成績，成績固然重要，然若不能在學習中形成數學能力和數學思想，那么學生很難自我發現問題，創新和發展也就無從談起了. 教學中要善于帶領學生回歸問題的本源，善于從本質出發，在培養“雙基”的基礎上進行有效的拓展和延伸，讓學生獲得數學經驗的同時掌握重要的數學思想方法，這對學生后期繼續學習是至關重要的. 要知道，數學教學是“為學而教”而并非“為考而教”，因此制定教學計劃時，設定教學目標要從學生的實際出發，充分挖掘出現錯誤的根源，深入問題的本質，幫助學生排疑解惑，通過自主探究和合作交流讓學生將知識點學懂吃透，從而實現知識點的融會貫通.

總之，若想提升學生的解題能力就要仔細研究教材，仔細研究學生，不能貪圖方便選擇一些“捷徑”，那樣反而容易將學生帶入誤區，難以提升解題效率. 同時，教學中要多培養學生的觀察能力和分析能力，讓學生學會發現和創新，進而提升學生的數學素養.

作者簡介：韓繼芳（1967—），本科學歷，高級教師，從事高中數學教學工作.