基于說理能力培養的高中數學教學策略探討

［摘? 要］ 說理能力，是數學思維能力的外在表現. 提高說理能力，有助于提高學生的數學思維能力. 基于理論研究與教學實踐，文章提出培養說理能力的路徑，即引導學生抓住數學概念的本質特點說理，引導學生抓住計算的算理過程說理，引導學生抓住應用題的思路說理，引導學生抓住證明題的推理過程說理.

［關鍵詞］ 說理；概念；算理；應用題；證明題

數學語言區別于其他語言，它既是一種自然語言，又是一種符號語言和圖形語言，如何利用數學語言的不同表現形式進行說理，這是數學教學中一個不可忽視的內容. 學生的說理能力，是學生數學思維能力的外在表現. 提高學生的說理能力，有助于提高學生的數學思維能力. 教學中教師該如何培養學生的說理能力呢？筆者認為，教師應抓住不同教學內容的特點，有的放矢地加以科學指導.

引導學生抓住數學概念的本質特點說理

概念教學是數學教學的重要環節，概念教學中，學生不僅要說清楚數學概念的本質特點，而且要準確無誤地表達數學概念的內涵與外延. 因此，概念教學中，教師應把數學概念的本質特點教學放在首位，保障學生能說出關鍵性的詞語. 此外，對于某些近似概念，教師應讓學生說出它們的相同點和不同點，并加以對比［1］.

比如，在圓錐曲線的教學中，如何看待橢圓和雙曲線？由此，教師可以先讓學生完成折紙、畫圖等數學活動，讓學生親身經歷橢圓與雙曲線的形成過程，感悟這兩種二次曲線的圖像特點，然后根據定義明晰兩者之間的共同點和不同點.

橢圓與雙曲線的共同點：（1）都是二次曲線；（2）都是中心對稱圖形和軸對稱圖形；（3）都是有心曲線；（4）都有焦點在橫軸上和縱軸上兩種情形.

不同點：（1）橢圓是封閉曲線，而雙曲線是開放曲線；（2）它們的離心率的范圍不一樣；（3）橢圓在一個矩形之內，且與矩形的邊相切，而雙曲線被夾在兩條漸近線之間.

對概念的理解，教師也可以讓學生“看圖說話”，看橢圓和雙曲線的圖形，分別說出它們的定義圖形的特征，這種數形結合思想更能體現數學的特征.

引導學生抓住計算的算理過程說理

學習數學離不開計算，而計算往往離不開推理，邏輯推理與數學運算正是數學核心素養的兩個要素. 學生通過計算，可以鞏固并提高所學的計算方法，同時通過有理有據的計算，可以培養邏輯推理能力. 在計算教學中，教師應加強算理教學，不僅要讓學生學會“算”，還要讓學生學會“說”，這樣既能發展學生的數學思維，也能培養學生的說理能力. 那么，應讓學生說什么呢？在解答問題前，可以讓學生先審題：先說說題目的條件與結論，再說說所涉及的數學知識，然后說說解答問題的思路與策略，最后說說解題中容易出現的錯誤. 教學中，教師可以讓一個學生完成，也可以像成語接龍那樣讓多位學生組合完成，體現新課標合作學習的理念［2］.

（1）求角B的大小；

（2）若點O是△ABC外一點，OA=2OB=4，記∠AOB=α，用含α的三角函數式表示平面四邊形OACB的面積并求面積的最大值．

面對此題，教師可以讓學生三說：

第一，讓學生說題：（1）運算對象是角B，由三角函數的恒等變換可求出B的值. （2）運算對象是平面四邊形OACB面積的表達式和面積的最大值．由題意可得△ABC為等邊三角形，利用三角形的面積公式及余弦定理可求得平面四邊形OACB的面積關于α的表達式，從而求出平面四邊形OACB面積的最大值.

第二，讓學生說解題過程（略）.

第三，讓學生說解題感悟（略）.

本題是較常見的一類三角函數綜合題. 解答本題必須理解運算對象：本題運算的是一個三角函數中的求角問題和面積最值問題，主要考查的是三角函數中恒等變換的應用、余弦定理的應用，考查的是等價轉化思想與運算求解能力. 只有明確了運算對象，方可找到解題策略：（1）求角B的值，必然要對已知等式cosC+（cosA－sinA）cosB=0進行恒等變形. 該等式共有三個量，肯定需要將其中一個量轉化成另外兩個量并表示出來，再對轉化成的兩個量進行變形，從而達到只剩其中一個量的目的. （2）思路很明確，通過余弦定理求出AB的關系式，得到平面四邊形OACB的面積表達式，利用三角函數的有界性求出最值. 求出平面四邊形OACB的面積表達式是關鍵，也是難點！

事實上，在解題教學中，說如何解題比純粹解題的要求更高，能讓學生“知其然又知所以然”，這也是學生學習數學的最高境界.

引導學生抓住應用題的思路說理

數學解題貴于解題思路的梳理，而解題思路源于數學題本身. 所謂思路，就是學生在解題時分析思考的方法. 而解題思路的形成，離不開數學閱讀能力. 實際應用題是高中數學中比較常見的一類問題，這類問題一直是學生學習的難點，難在文字關、事理關和數理關. 這三關分別考查學生的數學閱讀能力、數學建模能力和數學解題能力，每一步轉化都必須有理有據，步步為營，教學中，教師可以讓學生說題，說數學模型，說解題過程，通過“說”來突破實際應用題的“三關”［3］.

例2 南京市江北新區計劃在一個豎直長度為20米的瀑布AB正前方修建一座觀光電梯DE. 如圖1所示，瀑布底部A距離水平地面的高度AC為60米，電梯上設有一個安全拍照口P，P上升的最大高度為60米. 設P距離水平地面的高度為a米，P處拍照瀑布的視角∠BPA為θ. 攝影愛好者發現，要使照片清晰，視角θ不能小于30°.

（1）當a=50時，視角θ恰好為30°，求電梯和山腳的水平距離CD.

（2）要使電梯拍照口P的高度a在52米及以上時，拍出的照片均清晰，請求出電梯和山腳的水平距離CD的取值范圍.

本題所含的信息量較大，教師可以先讓學生讀懂題目要表達的意思，然后尋找數學模型，最后進行解答. 解答后，再請學生重述解題過程.

生1：對于第（1）問，先設CD=x米，再過P作PH⊥BC，垂足為H. 利用兩角差的正切公式建立關于x的方程，進而求出CD=x=10（米）.

讓學生說思路、說解法遠遠比教師一個人“自圓其說”所得效果好得多，這樣不僅可以鍛煉學生的語言表達能力，還能提高學生分析問題與解決問題的數學能力，讓學生感受到應用題其實并不可怕.

引導學生抓住證明題的推理過程說理

在高中數學中，立體幾何證明題是唯一必考的證明題，主要考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，解題過程處處體現出了數學解題的轉化思想. 如何進行轉化，其實就是一個說理過程，教師可用其培養學生的說理能力.

例3 在如圖2所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．

（1）求證：DE∥平面ABC；

（2）求多面體ABCDE的體積．

教師首先可以請學生說思路：

生3：在平面ABC內作輔助線OF→證明DE∥OF→將多面體ABCDE分割成兩個三棱錐→求兩個三棱錐的體積之和.

然后請學生說步驟：

生4：第一步，畫出必要的輔助線，根據條件合理轉化；第二步，寫出推證平行或垂直所需條件，注意條件要充分；第三步，明確寫出所證結論；第四步，對多面體進行合理轉化（分割或拼補）；第五步，分別計算分割的幾何體的體積并求和（或拼補的幾何體的體積并求差）；第六步，反思回顧，查看關鍵點、易錯點及答題是否規范.

最后請學生規范解答（略）.

解題教學中有三個步驟，即教師要有意識地引導學生分析問題、表達問題和證明問題，能大大提高學生的邏輯思維能力、推理能力和說理能力.

從某種意義上講，數學教學就是為了讓學生明事理、辨是非. 因此，培養與提高學生的數學說理能力，也是數學教學的重要一方.

參考文獻：

［1］? 李曉波. 高中數學概念教學中“問題串”設計的實踐研究［J］. 中學數學雜志，2020（07）：6-10.

［2］? 宋輝. 一個問題的算法、算理及變式研究［J］. 數學之友，2020（01）：66-68.

［3］? 黃英芬，顏寶平，龍紅蘭. 從應用題到建模問題的回譯——一種開發數學建模素材的新思路［J］. 數學通報，2019，58（09）：34-37.

作者簡介：周穎（1990—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.