以勾股定理的三維推廣為主線的類比推理教學研究

［摘? 要］ 文章首先闡明了類比推理的重要性以及勾股定理的三維推廣，根據勾股定理三維推廣中蘊含的類比推理，創新地給出以勾股定理的三維推廣為主線的類比推理教學設計，為高中數學教師進行核心素養教學提供參考.

［關鍵詞］ 類比推理；勾股定理；三維推廣

類比推理的重要性

邏輯推理是高中數學核心素養之一，主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹. 類比是其中一種重要的推理形式.

類比推理具體的含義是指根據兩個（或兩類）對象之間的一些屬性相同或相似，推測另一些屬性亦相同或相似的推理方法.

類比推理對于發現數學事實、發現解題思路、實現數學創造具有重要作用.類比推理能夠幫助學生自主構建新知識，快速到達相應知識的目標層次；同時，類比推理可以將碎片化的知識連線成網，使知識之間的內在邏輯關系清晰明了，實現對數學知識的系統化整理.

勾股定理三維推廣的解析

立體圖形中廣泛使用的兩點距離公式可以看作是二維勾股定理的兩次疊加使用，實現從二維到三維的拓展.同樣，空間中的距離問題可以轉化為平面的距離問題，實現從平面到立體的拓展. 為此，1981年美國桑托將二維勾股定理推廣至三維空間；德加于1783年向巴黎科學院提出了一個稱為“德加定理”的勾股定理的推廣定理，該定理即為現在熟知的三維面積勾股定理.

（1）勾股定理的推廣定理1（記為“定理1”）：

定理1：直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積等于直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和.

該定理出自歐幾里得《幾何原本》，這實際上是對勾股定理的一個證明. 雖然該證明只是停留于平面勾股定理，但是為勾股定理的推廣提供了思路方法，許多空間勾股定理的來源正是這個推廣定理.

（2）勾股定理的空間推廣（記為“推論”）：

推論：空間中，以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和.

（3）三維空間的（面積）勾股定理（記為“定理2”）：

定理2：直角四面體的底面面積的平方，等于三個斜面的面積的平方之和.

勾股定理三維推廣中的類比推理

？搖 從定理1到推論，其實是將一個直角三角形從二維平面放到三維空間的過程，需要將二維平面中的一些元素與三維空間中的一些元素進行合理類比得到，比如將二維平面中直邊形的面積對應到三維空間中，應該是表面積而非體積.

從推論到定理2，是將空間中的直角三角形從一個到多個的變化，需要將三角形的特征與多個三角形組成的四面體的特征進行合理類比得到，比如三角形由三邊組成，對應到三個直角三角形面圍成的一個封閉立體圖形.

勾股定理三維推廣中蘊含著豐富的類比推理，對勾股定理的推廣研究具有重要價值. 因此當學生學習完空間幾何的有關知識后，讓其了解勾股定理的三維推廣，對培養學生的類比推理能力具有非常良好的效果.

勾股定理三維推廣教學設計

本節課內容針對的是高二年級學習完立體幾何、空間向量的學生，教材可參考人教版選修2-2的“合情推理”章節.

1. 教學目標

知識與技能目標：了解定理1，理解推論，掌握定理2的具體內容，會簡單應用定理2，理解定理2的證明.？搖

過程與方法目標：通過了解數學史中定理1的內容和證明，類比推廣得到推論的內容及球體情況的證明，經歷從定理1和二維勾股定理的數量關系類比推理德加提出的定理2的過程，提高類比推理能力，體會類比推理思想方法.

情感態度與價值觀目標：讓學生了解歐幾里得和《幾何原本》，體會古代數學家的智慧；通過學生自己類比推理得到“德加定理”，讓學生領悟數學類比思想的應用，感受數學思想的奇妙；同時，通過從二維平面的推廣到三維空間的推廣的幾何直觀，讓學生體會數學定理的奇妙和簡潔.

2. 教學重難點

重點：類比推理思想方法，兩個定理和一個推論的內容.

難點：定理2的應用，以及類比推理的應用.

3. 教學過程

環節1：問題引入

（1）教師活動.

問題1：大家學習過的勾股定理公式是什么？有同學知道哪些古代數學家對勾股定理進行過證明嗎？怎么證明的？

教師根據學生的回答，在黑板上寫上數學家的名字，并說明證明勾股定理有許多方法.

問題2：同學們知道歐幾里得是如何證明勾股定理的嗎？

教師展示歐幾里得是如何證明勾股定理的，并介紹歐幾里得和《幾何原本》.

問題3：歐幾里得證明勾股定理的方法不是直接得到的，是通過什么間接得到的？能否將這種證明方法歸納為一句話：什么證明什么？

（2）學生活動.

學生思考并回答教師的三個問題，跟隨教師的思路，認識歐幾里得和《幾何原本》，以及歐幾里得證明勾股定理的方法，思考問題3并嘗試自己寫一句話來表達.

設計意圖：三個問題啟發并引導學生進行思考，在思考中帶領學生跟隨歐幾里得的腳步，從二維勾股定理逐漸推廣，為三維勾股定理的引出做鋪墊；同時通過問題3歸納歐幾里得證明勾股定理的方法的本質，有助于學生理解歐幾里得定理的推廣. 以歐幾里得為主線，讓學生了解數學史、體會古代數學家的智慧.

環節2：新知探究

第一部分——定理1：

（1）教師活動.

歐幾里得的證明方法的特點是：用面積關系證明勾股定理的數量關系. 根據這兩個關系的互相推導，歐幾里得在《幾何原本》中對勾股定理進行了推廣：

定理1：直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積等于直角邊上兩個與它相似的直邊形面積之和.

教師請學生歸納歐幾里得的證明方法的特點，用一句話概括定理1的特征：什么推廣什么？（特征：數量關系推廣面積關系）？搖

（2）學生活動. 對照教師給出的特征與自己歸納的特征，體會歐幾里得的證明方法的本質.

設計意圖：通過讓學生了解定理1的內容，自主歸納定理1的特征，使學生理解定理1的來源. 同時，讓學生自主歸納定理1的特征，為推論的類比推理做好鋪墊，讓學生初步體會類比推理的過程.

第二部分——推論：

（1）教師活動.

得到定理1的特征后，教師給出符合定理1的一個特例——圓，雖然圓不屬于直邊形，但定理1依然成立. 教師給出以直角三角形三邊長為直徑的三個圓，并給出證明過程：

教師提問：“類比歐幾里得的推廣，將直角三角形放到空間考慮，將定理1中直邊形或圓的面積關系推廣到空間，那么此時圖形的面積關系會變成什么呢？”讓學生進行思考并完成下面的填空：

教師巡視并展示填空答案，重點講解“面積”對應的空格為何是“表面積”而非“體積”；教師講解“面積”對應“表面積”后，讓學生根據這個類比框架，歸納從二維平面推廣至三維空間的特征——從面積關系推廣至表面積關系，讓學生根據定理1的描述和三維空間的推廣特征，自主得到推論：

推論：空間中，以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和.

同樣仿照定理1中的特殊圖形——圓，讓學生自主證明推論中多面體變成球的情況，教師展示學生的答案并進行講解.

（2）學生活動.

首先學習定理1中的特例——圓，理解證明過程. 思考并填空，填空過程中理解類比推理是如何進行的，聽完教師講解填空答案后了解類比推理的概念. 讓學生自主思考后寫出推論的內容，并根據定理1中圓的證明，類比證明推論中多面體變成球的情況. 在課后思考并寫下以直角三角形三邊為棱所作正方體表面積的關系的證明，對比它與球的區別.

設計意圖：學習定理1的特例和證明，讓學生體會定理1的證明思路，為推論的證明做好鋪墊. 讓學生填空，完成二維到三維的類比過程，填空過程中學習類比推理是怎樣進行的，特別是由面積類比到表面積，讓學生明白類比推理需要根據特征尋找合適的類比對象，真正理解并掌握類比推理思想方法.

讓學生自主得到推論，加深學生對推論的理解和掌握. 同時，通過剛學習的以直角三角形三邊為棱所作正方體表面積的關系的類比推理，深刻體會類比推理思想方法.

第三部分——定理2：

（1）教師活動.

教師：“推論從勾股定理出發，將以直角三角形的三邊為棱所作多邊形的面積關系推廣到空間中的表面積關系.勾股定理表述的是直角三角形及其邊長的數量關系，它有一個重要元素即直角三角形，立體空間中哪一類立體圖形可以作為直角三角形的類比對象？”

教師以引導方式帶領學生按照序號，完成下面的填空，讓學生找到立體空間中適合作為直角三角形類比對象的立體圖形——直角四面體.

在得到直角四面體的特征后，教師讓學生類比勾股定理的結構猜想直角四面體的性質：“1783年，一位叫德加的人向巴黎科學院提出了一個定理——‘德加定理’. ‘德加定理’就是大家類比得到的關于直角四面體的勾股定理的推廣定理. 大家嘗試猜想一下，能否得到300多年前的這個定理呢？”

教師講解直角四面體的性質，得到定理2，即三維空間的（面積）勾股定理，并用數學語言敘述定理2，給出嚴謹的板書：

定理2：直角四面體的底面面積的平方，等于三個斜面的面積的平方之和.？搖

（2）學生活動.

大膽猜想直角四面體的性質，抓住勾股定理三邊關系的特征，嘗試寫出直角四面體底面與斜面的面積關系的式子. 理解定理2，在紙上記下定理2的數學語言描述.

設計意圖：從另一個角度推廣勾股定理，體會勾股定理三維推廣的多角度的推廣方法，同時自主運用類比推理的思想方法掌握其精髓，體會數學文化中類比思想的奇妙.

提問直角四面體的特征讓學生注意到類比過程中尋找合適類比對象的重要性，猜想直角四面體的性質能夠激發學生的創造性思維；同時通過介紹發現定理2的歷史，讓學生帶有發現“數學家發現的定理”的一種成就心理. 學生理解定理2后，給出數學語言描述讓學生明白數學語言的簡潔和嚴謹.

環節3：新知應用

（1）教師活動.

教師給出以下例題，讓學生應用定理2進行解答：已知三棱錐P-ABC的三個側面互相垂直，它們的三個側面面積都是2，求P到平面ABC的距離.

（2）學生活動.

？搖思考例題的解答方法，應用定理2自主解答例題.

設計意圖：給出例題讓學生鞏固定理2，同時在學生解題過程中體會類比推理的過程.

環節4：課堂小結

（1）教師活動.

教師總結類比推理的流程：

教師以提問的形式，帶領學生回顧從二維勾股定理推廣到三維空間（面積）勾股定理的過程，幫助學生鞏固、內化三個定理.

（2）學生活動.

根據流程圖回顧類比推理的過程，同時根據教師的提問思考和回憶勾股定理三維空間的推廣過程.

設計意圖：通過課堂小結讓學生回顧整個推廣過程以及類比推理的過程，讓學生更深刻地理解類比推理的含義、流程.

總結

“如何在課堂教學中培養核心素養”，一直是高中數學教學一個熱議的話題，勾股定理的三維推廣雖不屬于最新版教材教學內容范圍，但二維平面的勾股定理是學生非常熟悉的內容，從二維到三維的推廣是類比推理思想非常明顯的一個過程，因此當學生高二年級學習完空間立體幾何后，教師進行勾股定理三維推廣教學，能夠幫助學生體悟類比推理思想方法，對于培養學生邏輯推理素養具有重要意義.

作者簡介：黃雅萱（2000—），本科學歷，研究方向：數學與應用數學（師范）.