單元教學模式下“點到直線的距離”的新課教學探究

南通市小海中學 張中華

本節課是普通高中教科書蘇教版選擇性必修一第一章第五節第二課時，它是平面解析幾何“直線”這一章內容的最后一節.主要內容就是點到直線的距離公式推導及應用.為了讓學生將本章知識熟悉地帶到這節新課的公式推導中，筆者采用了單元教學的模式來設計本節課.以下是本節課的教學過程及設計思路.

活動一：實例引入.

如圖1，某漁排M的施工船P正在海中進行施工作業，接到臺風預警通知：某臺風在海洋中成型，其中心為T，已知臺風的影響范圍是半徑為r的圓形，運行軌跡為與漁排一邊平行的直線.請同學們結合圖2用數學的眼光觀察世界，來說說由此實例，能提出哪些問題？

圖1

圖2

用數學的眼光觀察世界用數學的眼光觀察世界(1)開始時,船P是否有危險?(1)求點P與點T之間距離,與r比較(2)臺風運行過程中,船P是否有危險?(2)求點P到直線的距離,與r比較(3)臺風運行過程中,漁排是否有危險?(3)求漁排M靠近臺風的一邊到直線的距離,與r比較

設計思路：用了常見的實際問題引入，但又用了不常規的開放性式提問，讓學生用數學的眼光來審視這個世界，充分調動他們的積極性，讓他們發散性地去思索這個實例能帶來的問題，并且用數學的思維來思考解決所提出的問題.讓他們體會實際問題數學化的轉化過程以及用數學的思維來反饋解決實際問題的能力.

活動二：提煉思維，引出課題(如圖3).

圖3

設計思路：對前面學生所提出的三個數學問題，運用單元教學模式的思想，提煉成三個距離問題.(1)兩點之間距離(已學知識)；(2)點到直線距離(本課所學)；(3)直線到直線之間的距離(本課知識擴充).再借助兩點之間距離公式的推導方法進而衍生點到直線距離的推導方法，進一步轉化出兩平行直線之間的距離公式的推導方法.

活動三：深入探究，推導公式(如圖4).

圖4

組織學生分組討論，把推導點到直線距離公式的三種方法具體化，讓學生對具體的思維明朗化.接下去，學生分組推導公式并上臺展示.

即

兩式分別平方并相加，得

(A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]=(Ax0+By0+C)2.

通過整體思想，能簡化運算.

又PQ是Rt△PMN斜邊上高，則

生丁：法三.設點T(x,y)，則PT2=(x-x0)2+(y-y0)2，消去y化簡，得

生戊：以上的解答都要對A=0及B=0加以檢驗.

設計思路：以學生小組討論的方式，并用流程圖的形式把三種方法的思維明朗化.在此過程中，充分調動學生的積極性，并且使他們對三種方法的理解更加徹底.之后讓學生分組合作推導公式以加深學生對方法的理解及提升處理多參數的運算能力.在運算的過程中，學生主動發現法一可通過整體思想來簡化運算，可以此加深學生對整體思想的運用，這樣為以后直線與圓及直線與圓錐曲線中的整體計算打下鋪墊.最后，由學生來指出推導過程要縝密并對特殊情況加以驗證.這樣，既增強了學生的邏輯思維能力和合作能力，又加深了數學思維的縝密性，一舉多得.

活動四：運用公式，加深理解.

引導學生推導兩條平行直線Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0(C1≠C2)之間的距離公式.

生：兩條平行直線間的距離，在一條直線上取點，即可轉化為點到直線的距離.

過程如下：在Ax+By+C1=0上取點P(x0,y0)，則點P(x0,y0)到直線Ax+By+C2=0的距離

又Ax0+By0+C1=0，即Ax0+By0=-C1，則

師：至此，回到板書，就可補充完整了.

例1分別求點P(-1,2)到下列直線的距離：

(1)y=-2x+10；(2)3y+5=0；(3)3x=2.

例2求兩條平行直線x+3y-4=0與2x+6y-9=0之間的距離.

例3已知直線l過原點，且點M(5,0)到直線l的距離為3，求直線l的方程.

設計思路：通過推導兩條平行直線間的距離公式加深學生對形的認識以及形轉化為數的能力，并且加深對點到直線距離公式的理解.通過例1加深學生對公式的運用并且對直線垂直于x軸或平行于x軸這兩種特殊情況的認識，即可直觀地從形解決，亦可應用公式.通過例2，引導學生注意兩條平行直線間距離公式的細節，即直線一般式方程中x，y前的系數應相等.通過例3，加強學生對公式真正在具體問題中的應用能力.

本節課的板書設計即為活動二中的圖3.本文中的課堂設計，在立意上沒有單純地從點到直線的距離這一知識點出發，而是通過單元教學模式，由具體的實例，把這一章節中的三個距離統一地提煉出來，讓學生自主發現問題、提出問題、解決問題.這樣，加深學生對這三個距離之間關系的認識，更加透徹地理解知識的本質.