數形結合思想在初中數學教學中的應用探討

甘肅省張掖市民樂縣第四中學 謝為勤

數形結合思想是初中階段一種較為重要的數學思想，“數”與“形”是構成數學的基本要素。目前，一些初中生對數形結合思想的理解不夠深入，應用不甚靈活。對此，在初中數學教學指導中，教師應根據課程標準要求，滲透數形結合思想，引導學生掌握運用數形結合思想解題的方法。這樣有利于學生將抽象的數學語言、符號等用具體的圖形展現出來，降低學生解題的難度；同時還可以讓學生對具體的圖形進行抽象分析，提高對幾何圖形、空間關系的認識，優化數學知識結構，增強學生的抽象思維能力。

一、數形結合思想在初中數學教學中應用的意義

在初中數學課程中，數形結合思想幾乎貫穿于整個教學階段，例如在有理數的學習中，學生需要結合數軸定位、理解有理數；在二次函數圖像的相關知識學習中，可以借助函數圖像研究函數性質；在利用函數解決實際問題的過程中，可以將具體問題抽象為函數圖像，便于分析和理解。教師可以結合這些具體的課程內容，有意識地滲透數形結合思想，這對于學生的數學學習是十分重要的。

第一，數形結合思想的應用能夠幫助學生理解數學中的抽象概念。數學知識具有高度抽象的特點，初中生抽象思維能力不足，在學習一些數學概念時無法完全理解，或者出現理解偏差，在知識運用中出現錯誤。對此，數形結合思想的應用，可以讓學生借助具體的圖形理解抽象概念的本質，理解、認識數學知識，為知識應用奠定基礎。例如在學習函數相關知識的過程中，教師需要為學生講清楚自變量、函數、函數值等概念，這時教師可以利用坐標圖為學生構建函數圖像，并結合現實中的問題，引導學生思考x、y 這兩個變量的變化情況，分析對x 的每一個值，y 都有唯一確定的值與其對應，進而確定函數的概念。這樣的教學設計可以讓函數概念變得不再那么抽象，學生通過圖形可以對函數概念進行理解和內化，并加強記憶，增加對抽象數學知識的掌握。

第二，數形結合思想的應用能夠幫助學生增強解題能力。學生在課程學習中，需要面對大量的習題。準確解答習題對于學生鞏固知識、構建知識基礎、增強學習能力具有重要意義。所謂“授之以魚，不如授之以漁”，數形結合思想的應用就是為學生的解題提供一條有效的思路。因此，在初中數學解題指導中，教師應啟發學生進行“以形助數”或者“以數解形”，引導學生自主繪制圖形，提升學生的學習能力。例如題目：y=x2+x-2，y=x2-6x+9，y=x2-x+1。這三個函數與x 軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標和縱坐標分別是多少？在這一題目解答中，直接采用函數圖像進行分析，不僅可以直接找到解題思路，更能夠迅速找到答案，并為學生對比函數之間的特點提供機會。

第三，數形結合思想的應用能夠幫助學生提升思維品質。數學學科對于學生的思維鍛煉是十分重要的。學生在建構和完善數學知識體系的過程中，思維的抽象性和靈敏性也不斷提升，而數形結合思想的應用則可以進一步發展學生的思維。例如在初中階段，教師可以以“函數”為主題，引導學生進行知識總結，利用函數圖像對比不同的函數特點，并抽象總結函數的概念；在函數知識應用的過程中，教師可以通過圖形引導學生進行靈活分析，探究多元化的解題思路，發散思維，實現創新思考。

二、數形結合思想在初中數學教學中的應用策略

（一）明確數形結合思想應用的原則

“數”與“形”的轉化可以在學生解答數學習題的過程中提供便捷的思路和有效的工具，提高學生的做題效率和準確性。但是，數形結合思想的應用需要具備一定的條件，教師在指導學生運用的過程中，也應引導學生遵循一定的原則。

第一，等價原則。在數學問題中，只有在代數和幾何性質相互等價的前提下才具備數形轉化的條件。如果不立足在等價轉化的基礎上，數形結合思想在運用過程中會出現不嚴謹的情況，所轉化的內容無法覆蓋所有可能，導致解題思路出現偏差。例如數軸的點與實數存在一一對應的關系，這就說明“數”與“形”在此時是等價的，而二者的轉化也就順理成章。

第二，雙向原則。一些學生在運用數形結合思想的過程中，片面重視“以形助數”的方式，利用幾何圖形解釋數字關系的本質。實際上，在數形結合思想的應用中，需要將“數”與“形”相互滲透，相互轉化，這樣才能發揮彼此的優勢。例如在推導平方差公式的過程中，教師可以用多項式的乘法法則進行數的解析，還可以從四邊形面積變化的角度分析其在圖形中的表現，以幫助學生從多角度理解數學知識，實現知識的內化。

第三，簡化原則。數形結合思想應用的目的是簡化題目，為解答問題找到更加便捷有效的思路。因此，教師應啟發學生針對不同類型的題目，選擇合適的解題方式。例如有些題目利用圖像法會更加直觀簡潔，有些題目需要具體的數據精準計算才能得到準確答案。在分析中應做具體處理，并從簡化問題的角度運用數形結合思想，找到最佳的解題方案。

（二）把握數形結合思想應用的內容

初中階段，數學課程主要劃分為數與代數、空間與圖形、統計與概率、綜合與實踐等不同的模塊。教師在教學指導中，應把握不同模塊的特點，有意識地滲透數形結合思想，引導學生自主應用，加強學生對數學知識的掌握。

第一，在數與代數相關知識學習中的應用。在學習有理數的相關運算和函數的表達時，教師可以利用圖形為學生展現數以及數量關系，提高學生對數形結合思想的認識。例如在引導學生理解有理數的過程中，教師應借助“數軸”這一工具進行講解，提高學生對有理數掌握的準確性，并為相關運算奠定基礎。

第二，在空間與圖形相關知識學習中的應用。教師在指導學生認識空間和平面圖形、分析圖形性質、描述圖形的位置和運動的過程中可以滲透數形結合思想。例如在描述某一個點的運動軌跡時，教師可以利用平面直角坐標系進行具體分析，提高學生對點的運動的直觀認識。

第三，在統計與概率相關知識學習中的應用。教師指導學生收集、整理、處理數據，分析簡單隨機事件及其發生的概率時可以滲透數形結合思想。例如在學習平均數、中位數和眾數的過程中，教師可以利用不同數據在直角坐標系上描點，增加學生對數據集中趨勢的理解，直觀感受統計學中各種“數”的特點。

第四，在綜合與實踐相關知識學習中的應用。教師引導學生參與實踐活動、指導學生解答生活問題時可以滲透數形結合思想。例如在“利用多邊形的瓷磚鋪客廳地板”的問題中，教師可以指導學生通過計算繪制鋪設圖形，并思考實際問題，培養學生數學知識與數學思想的應用能力。

（三）明確數形結合思想的應用方法

在初中數學課程教學中，數形結合思維的應用必須落到實處。教師在確定數形結合思想的應用原則和應用范圍后，還需要結合具體的案例分析其應用方法，促使學生在實際應用中把握數形結合思想的本質，并積累學習經驗，實現學以致用。

第一，講解數學概念，引導學生理解數形結合思想。數學概念是數學學科的基礎，它是對現實生活中的各種數量關系、空間幾何關系、邏輯關系的高度抽象。在數學概念教學中，教師不僅要讓學生理解其表面的含義，還需要促使學生在剖析、研究、類比、轉化等一系列思維活動中探究概念的本質，這樣才能達到靈活運用的目的。基于此，在數學概念的講解中，教師可以滲透數形結合思想，讓學生獲得關鍵性的解題經驗，從更加直觀的角度探究概念的本質。例如在學習“數軸”概念的時候，教師從數量關系和空間形式上引導學生將抽象的數軸想象成溫度計，并以此說明數軸的三個構成要素，即度量起點、度量單位、明確的增減方向。這樣學生在理解抽象數學概念的過程中可以獲得具體的圖形的支撐，同時也為數軸知識在實際中的應用做好了鋪墊。這種教學設計可以將抽象的數學概念轉化為具體的形式，體現了數形結合的本質。在數學概念教學中，教師引導學生合理類比，可以降低學生對知識理解的難度，促進學生抽象思維的發展。

第二，推導數學定理，促使學生應用數形結合思想。在數學學習過程中，教師不僅要讓學生掌握教材上的知識點與理論，還需要引導學生發現數學知識生成的過程，即向學生展現思維形成的步驟，讓學生能夠在主動思考的過程中真正獲取知識，成為知識的主人。初中數學教材上的各種數學定理，都是前人經過大量驗證推算出來的。教師在教學指導中不僅要讓學生掌握這些定理，更要利用定理的推導過程錘煉學生的思維，而在這一過程中數形結合思想有著重要的應用價值。例如在“勾股定理”的學習中，教師給出了直角三角形的三條邊以及定理：a2+b2=c2，并要求學生證明。在證明中教師根據歐幾里得的經典方法啟發學生，即在直角三角形的三條邊外接正方形，并通過正方形面積的計算和轉化完成證明。在這一教學過程中，學生首先獲得的是勾股定理的抽象表達，然后根據數形結合思想反推結論，利用證明步驟呈現思維過程。直接的證明對初中生來說比較困難，而利用圖形進行解析，并將結論等量轉化可以降低證明難度，提高證明效率，加深學生對定理的印象。

第三，加強解題指導，利用數形結合思想引導學生解題。解題教學是幫助學生理解知識、鞏固知識的重要方式。但是，在初中解題教學中，一些學生對例題的理解不夠深入，只要教師對原本的例題稍加變式，就會束手無策。對此，教師在解題教學中不應該只重視結果，還應重視學生對解題方法的掌握，而數形結合不失為一個科學有效的方法。例如在學習了“勾股定理”之后，在解題教學中教師設計題目：由4 個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若大正方形面積是9，小正方形面積是1，直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，則 ab 的值是多少？在解題指導中，教師啟發學生自主繪制圖形并根據小正方形、大正方形的面積列出方程組，通過完全平方公式的變形公式來求ab 的值。這一題目考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運用，考查了正方形面積以及方程組的計算。教師從“勾股定理”出發，結合其他知識點形成變式，并利用數形結合的思想引導學生找到解題的方法。這樣可以讓學生從新的角度認識勾股定理，提高知識應用的靈活性以及解題的準確性。

第四，結合復習教學，突出數形結合思想的應用。在初中數學教材中，數形結合思想在各個章節都有對應的知識點。教師在指導學生復習時應該將與數形結合思想關系密切的知識點呈現出來，讓原本抽象的知識變得更直觀，同時也有利于學生構建知識體系。例如在“二次函數”相關知識的復習過程中，教師應結合理論知識，引導學生回顧二次函數解析式中各個參數的變化對二次函數的影響，并根據二次函數的相應圖像表現出各個參數的大小、正負、位置與數值，最終用表格的形式展現出來。這樣學生結合二次函數圖像，可以對其中包含的知識點形成更加清晰的了解和認知，復習效果自然也會有所提升。當然，在復習教學中教師還應給予學生自主空間，啟發學生根據課上所學的數形結合思想梳理單元知識，將抽象的數量關系與具體的幾何圖形結合起來，構建思維導圖，完成復習任務。

（四）做好數形結合思想應用的反思

在初中數學實踐中，教師應針對教學實踐活動不斷反思，為教學改進提供依據。在數形結合思想的應用中，教師應針對學生對數學思想的掌握程度，分析教學目標的實現情況，發現教學問題，促使教學改進。比如教師應深入鉆研數學教材，領悟數形結合思想及其在教學實踐中的應用。在應用數形結合思想的過程中，教師應圍繞教材內容展開，為學生提供更具針對性的案例，引導學生結合圖形分析數學概念，深化對知識的理解程度。這樣在教學實踐中才能把握要點，保證教學效果。

總之，在初中數學課程教學中，數形結合思想的滲透與應用提升了學生的數學素養。在教學實踐中，教師應根據課程改革的要求，明確數學思想滲透與應用的要求，改變傳統的教學模式，把握學生數學素養發展需要，引導學生在數學知識的理解與應用中運用數形結合思想，培養學生的數學思維能力，促進學生全面發展，這對于初中數學課程的改革也是十分重要的。