關于羅爾中值定理的教與學關于羅爾中值定理的教與學

◎蔣利華 陳文平 梁伍威

(桂林電子科技大學，廣西 桂林 541004)

一、引言

導數的應用非常廣泛，它可應用于物理學、化學、生物學、經濟學以及生產實際等各個領域，而微分中值定理是導數應用的理論基礎，也是導數應用教學中的重點和難點.本文以啟發式教學方法介紹了中值定理的理論，還介紹了學生學習中值定理的方法，并利用中值定理解決具體的實際問題.在學習三大中值定理的過程中，教師要引導學生體會它們之間的辯證關系，一方面能激發學生的學習興趣，培養學生的數學思維以及應用數學知識解決問題的能力，另一方面也能引導學生學會利用辯證的思維看待生活、學習中遇到的一些問題.課堂教學是培養學生能力和形成核心素養的最重要的途徑，有效的課堂教學可以將復雜難學的數學理論變得易于學生理解，便于學生進行有效的學習，從而獲得良好的教學效果.

二、啟發式教學

啟發式教學顧名思義就是一種以啟發學生思考為指導思想的教學方式.它不應被理解為一種具體的教學方法或教學技巧，而是一種以啟發學生探索理論知識為主，以調動學生學習積極性為宗旨，把學生的被動學習變成積極的主動學習為目標的教學指導思想.復雜的理論知識不僅會增加學生學習的難度，也會影響學生學習的積極性，為此我們可以通過啟發式教學，把復雜的數學理論知識簡單化，從而達到良好的教學效果.

三、羅爾定理的啟發式教學

為了引起學生學習的興趣，教師可先介紹羅爾定理的背景：羅爾在《方程的解法》一文中提出有關多項式零點分布的定理，這是現在羅爾定理的前身.當時羅爾一直在質疑微積分的正確性，所以羅爾是用純代數的方法證明該定理的.隨著微積分學的發展，人們根據微積分的理論重新證明，并把它推廣到一般函數情形，才稱之為羅爾定理.

下面介紹羅爾定理的內容：

定理(羅爾中值定理)若f(x)滿足以下條件

(1)在閉區間[a,b]上連續;(2)在(a,b)內可導；

(3)f(a)=f(b).

為了引出定理的結果，教師應啟發學生思考：定理的三個條件在幾何上分別表示圖像的什么特征？讓學生根據圖像的特征觀察出定理的結論.

閉區間上連續表示圖像在區間[a,b]上連續不斷，沒有間斷點；開區間內可導是指圖像在(a,b)內光滑沒有尖點，并且條件f(a)=f(b)說明函數的圖像在區間端點一樣高，從而得到函數f(x)的圖像一定具有如下的形狀：

接著讓學生觀察思考，看他們從圖像上能看到什么現象.學生很容易得到結論：函數的圖像至少有一條平行于x軸的水平切線.這個結論是學生自己觀察得出，這一方面激勵了學生學習的主動性，另一方面也增強了學生對羅爾定理的記憶與理解.羅爾定理的完整表述為：

定理(羅爾中值定理)若f(x)滿足以下條件

(1)在閉區間[a,b]上連續；(2)在(a,b)內可導；

(3)f(a)=f(b)；

則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0.

微分中值定理是微分學的重點、難點，定理的證明經常困擾著學生，因此在講解定理的證明時，教師必須抽絲剝繭、層層遞進，將深奧的數學定理、繁多的知識細節，融合在演繹推理過程中，讓學生體會數學之美——嚴謹性和準確性，進而培養學生嚴謹客觀的科學態度和勇于探索的鉆研精神.

我們依然利用啟發式教學介紹羅爾定理的證明過程.教師可引導學生從結論來想，定理的結論要證的是在(a,b)區間內有一階導數為零的點，從圖像上看，那個點似乎是最大值或最小值點，那么函數在[a,b]內是否有最大值和最小值呢？再看定理的條件，f(x)在閉區間[a,b]上連續可以保證其在[a,b]上有最大值和最小值(閉區間上連續函數的最值性質)，不過考慮問題要全面，一方面最大值和最小值如果相等是什么樣，如果不等又如何？從而學生可得到：

(1)當最大值等于最小值時，又由f(a)=f(b)知，f(x)一定是常函數，且f(x)在(a,b)內又是可導的，故(a,b)任意一點的導數都為零.

綜合(1)(2)，不難得到羅爾定理完整證明過程.

這種以學生作為主體的啟發式教學模式，一方面調動了學生學習的積極主動性，培養了學生的數學思維能力，另一方面也把復雜的數學理論知識簡單化，簡化了學生的學習過程，即能達到良好的教學效果，又能讓學生獲得良好的學習效果.

羅爾中值定理的推論.

推論1如果F(x)在區間I上可導，且F′(x)=0，則F(x)≡C.

推論2如果F(x),G(x)在區間I上可導，且F′(x)=G′(x)，則F(x)=G(x)+C.

四、羅爾定理的應用案例

例1設f(x)滿足以下條件

近年來，華中師范大學不斷深化體制改革，完善監管機制。2014年7月，該校后勤集團在運行機制和體制上作出了重大調整，設立4個辦公室、7個實體中心，實行小機關大實體運行模式。為了強化部門負責人、生產者是第一責任人的意識，該校成立了食品藥品工作站，并于2014年11月正式掛牌。“工作站由校辦牽頭，掛靠后勤保障部，同時配套專職監督員1人、信息報送點20多個，形成信息報送網格化，在全省率先完成了食品藥品監管體制的建設。”該校相關負責人說。

(1)f(x)在閉區間[0,a]上連續；(2)f(x)在(0,a)內可導;(3)f(a)=0；證明：在(0,a)內至少存在一點ξ，滿足ξf′(ξ)=-f(ξ).

分析引導學生明確，此題要證明的是ξf′(ξ)= -f(ξ)，

即ξf′(ξ) +f(ξ)= 0，也就是F′(ξ)=ξf′(ξ) +f(ξ)=0.

而后利用羅爾中值定理即可證明.

證明構造輔助函數F(x)=xf(x)，顯見(1)F(x)在閉區間[0,a]上連續；(2)F(x)在(0,a)內可導;(3)F(0)=0=F(a)=af(a)；由羅爾中值定理知，在(0,a)內至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0,即ξf′(ξ)=-f(ξ).

例2若f(x)滿足f′(x)=f(x)，f(0)=1，證明：f(x)=ex.

分析由結果f(x)=ex出發思考，相當于證f(x)e-x=1，反過來找條件，由f′(x)=f(x)知e-x[f′(x)-f(x)】=0，即F′(x)=[e-xf(x)]′=0，則F(x)≡C.從而利用羅爾中值定理的推論就可得到對應的結果.

證明構造輔助函數F(x)=e-xf(x)，顯見F(x)∈D(-∞,+∞)，且F′(x)=[e-xf(x)]′=e-x[f′(x)-f(x)]=0，所以F(x)≡c，又F(0)=f(0)=1，故F(x)=e-xf(x)=1，即f(x)=ex.

例3若a0xn+a1xn-1+…+an-1x=0有一個正根x0，

證明：方程na0xn-1+(n-1)a1xn-2+…+an-1=0必有一個小于x0的正根.

分析這是一個證明方程有實根的問題，而羅爾定理的結論相當于f′(x)=0在(a,b)內至少有一個實根.

證明令f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x，顯見f(x)在[0,x0]內連續，在(0,x0)內可導，且f(0)=f(x0)=0，由羅爾中值定理知在(0,x0)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)=0，即na0xn-1+(n-1)a1xn-2+…+an-1=0必有一個小于x0的正根.

五、教學效果體現

對于桂林電子科技大學商學院20級管理科學與工程類專業的學生，教師在進行《高等數學》上冊的教學過程中，就利用了啟發式教學模式，該班學生在期末全校統考中取得了不錯的成績，高等數學的通過率從以前的百分之七八十提升到了百分之九十.

六、羅爾中值定理的應用展望

(一)羅爾中值定理推廣形式探討

羅爾中值定理在高等數學這門學科中扮演著舉足輕重的角色，一旦學生能夠熟練掌握和應用這些知識，可以獲得一種滿滿的成就感.而導數作為一種重要數學工具，在分析和探討函數性質和各個函數之間映射關系方面發揮出重要作用.但是，僅僅從導數這一概念入手去分析和研究函數，還不足以有效地突出導數這一工具的應用價值.為了解決這一問題，教師需要將導數建立在微分學相關基本定理的基礎上進行應用，微分學相關基本定理主要包含廣義羅爾中值定理 、拉格朗日定理等.而這些基本定理被統稱為“微分中值定理”，在這些中值定理中，羅爾定理屬于一種比較常用的定理，其通過采用推廣延伸的方式 ，可以從自身延伸出其他比較重要的定理，從而實現對羅爾中值定理的有效推廣和補充.另外，拉格朗日定理的應用也充分體現出了微分學的典型應用，該定理可以為函數和導數之間的有效連接起到一定的橋梁作用，從而取得良好的溝通效果.此外，以上定理作為一種科學工具，為分析和探究各個函數映射關系提供了重要支持，所以，對羅爾中值定理推廣形式的探討，除了可以直觀、形象地體現出羅爾中值定理在高等教育中的典型應用外，還能為進一步提高函數關系研究結果的精確性打下堅實的基礎.

(二)羅爾中值定理推廣應用分析

在分析和應用羅爾中值定理期間，為了進一步提升高等數學教學水平，教師需要在參照廣義羅爾定理的基礎上， 通過增加和設置有限區間相關條件，可以得到羅爾中值定理相關理論知識，該理論知識主要是參照應用型函數可導性所研發的，為后期全面地分析和研究函數整體形態打下堅實的基礎.由于廣義的羅爾定理在具體的使用中，存在條件性太強問題，因此，其應用到實踐中往往會面臨較大的困難，也會增加學生的學習和理解難度.同時，由于受條件的限制，學生很容易在實際學習期間遇到瓶頸.這些因素對羅爾中值定理在實踐中的應用產生了一定的限制作用.為了解決這一問題，確保羅爾中值定理可以更好地應用于函數映射關系的處理中，教師需要在不斷提高羅爾定理的靈活性和可理解性等特點的基礎上，充分結合廣義羅爾定理相關理論知識，不斷增加羅爾中值定理推廣研究深度.此外，教師還要不斷地開拓自身的思維，突破研究相關的各種局限性條件，從而實現對開區間、閉區間的深入分析和探究，從而起到拓展羅爾中值定理相關理論知識的作用.此外，教師在應用羅爾中值定理對各種函數類進行分析和研究期間，要盡可能地降低和削弱相關條件限制，確保羅爾中值定理得以推廣和應用.

七、結論

高等數學教學內容的主要特點是具有高度的抽象性，這種高度的抽象內容使高等數學的教學與學習都相對變得困難.所以，教師在高等數學的教學過程中如何利用啟發式教學模式直接影響到教學效果和學生的學習效果.高等數學教學的主要目的是培養學生的數學思維能力和解決具體問題的能力，教師只有通過啟發式教學才能激發學生學習的興趣和主動性，從而達到培養學生學會思考問題，提升解決問題的能力的根本目標.