關于2×2分塊矩陣性質的應用關于2×2分塊矩陣性質的應用

◎任芳國 和嘉琪

(陜西師范大學數學與統計學院，西安 710119)

一、引 言

矩陣是高等(線性)代數與矩陣分析研究的核心對象，它具有豐富的內容及廣泛的應用.分塊矩陣使矩陣的結構及運算變得簡單清晰，是研究矩陣的最基本、最重要的工具之一.它貫串于整個高等代數學習的始終，體現了整體到局部再到整體的數學思想，在矩陣的數字特征如矩陣的行列式、秩中有著重要的應用，特別地，2×2分塊矩陣是研究分塊矩陣的基礎.本文主要利用2×2分塊矩陣、矩陣行列式及秩的基本性質，討論了2×2分塊矩陣在矩陣行列式、秩方面的應用.

為了敘述方便, 我們對文中符號進行約定:Mn×m表示復數域上所有n×m階矩陣構成的集合，Mn×n簡記Mn；In表示n階單位矩陣，AT,A*,|A|,r(A)，n(A)分別表示矩陣A的轉置，共軛轉置，行列式，秩及零度.其他未說明的見參考文獻[1]-[2].

為了本文討論更方便需要引入以下定義和引理.

定義1 設A=(aij)n∈Mn.

(1)如果滿足A*A=In，稱A是酉矩陣；

(2)設Aij是A中元素aij的代數余子式，稱n階方陣adj(A)為A的經典伴隨矩陣，其中adj(A)的(i,j)元素為Aji(i,j=1,…,n).

如果A11可逆，則|A|=|A11|·|A22-A21A11-1A12|；

如果A22可逆，則|A|=|A22|·|A11-A12A22-1A21|.

二、主要定理

(1)|H|=|A|d-yTadj(A)x.

證明(1)①當A是可逆矩陣時，由引理1及adj(A)=A-1|A|知，

|H|=|A|(d-yTA-1x)=|A|d-yT|A|A-1x=|A|d-yTadj(A)x；

(2.1)

綜上，結論得證.

(2)由于A(λ)=A+λeeT，其中e=(1,…,1)T，則由引理1及2.1知，

綜上，定理得證.

推論1設A=(aij)n∈Mn，Aij是A中元素aij的代數余子式，λ是一個未定元，A(λ)=(aij+λ)n，則

另一方面由行列式的性質有，

(1)如果AC=CA，則|H|=|AD-CB|.

(2)如果AB=BA，則|H|=|DA-CB|.

(2)由于AB=BA，則有ATBT=BTAT.于是由行列式性質知，

綜上所證，定理得證.

綜上，定理得證.

(1)n(A11)=n(B22)； (2)r(A11)=r(B22)+r+s-n.

(2)由于r(A11)=s-n(A11),r(B22)=n-r-n(B22)，于是由(1)知，(2)成立.證畢.

r(U22)=n-2k+r(U11).

三、結 論

分塊矩陣是高等(線性)代數與矩陣分析討論的重點內容之一，矩陣的分塊能使矩陣的結構變得清晰,運算變得簡便，因此，分塊矩陣是研究矩陣的最基本、最重要的工具之一.本文利用2×2分塊矩陣的重要性質、矩陣行列式、秩的基本性質，討論了行列式的重要性質，獲得了分塊可逆矩陣與其逆矩陣之間子塊秩之間的關系，旨在提高用分塊矩陣去解決矩陣問題的能力，為高等(線性)代數與矩陣分析的學習和研究提供參考.