線性最小二乘法擬合討論線性最小二乘法擬合討論

◎馬明玥 張萬龍

(首鋼工學院基礎學院，北京 100144)

一、引言

如果根據兩個變量的一組觀測值(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn)，估計其附近其他點的情況一般有兩種辦法，一種是插值法，另外一種即為擬合法.

插值法是通過在已知的離散數據點的基礎上插入連續函數，這個連續函數所對應的曲線能經過所有已知的離散數據點.較著名的插值方法有多項式、埃爾米特、分段、三角函數插值等.觀測點的不斷增加，一方面會導致計算量快速增大，另一方面如多項式插值會產生龍格(蝴蝶)效應.

數據擬合又稱曲線擬合，俗稱拉曲線，是可以將已知的數據通過數學方法來代入數式的表示方式.工程或科學技術領域中涉及的實際問題可以通過不同的方法獲得若干離散數據，如采樣、實驗等.借助這些獲得的離散數據，我們往往希望得到一個連續的函數(也就是連續曲線)或者更加密集的離散方程可以與已知數據相吻合，這種方法就是擬合(fitting).

插值與擬合都可以借助計算機軟件進行輔助計算以減少計算的壓力，如Excel、Mathematical、Matlab等數學軟件.這些軟件還可計算在集成環境下得到除函數表達式之外的一系列分析結果，用于分析插值與擬合的效果，但所有操作對用戶都是透明的.線性插值與擬合原理非常簡單，計算量基本都在可承受范圍內，還可以滿足一些特殊需求.本文重點討論線性最小二乘法擬合，除了傳統的縱坐標距離平方和最小外，還討論橫坐標及法向平方和達到最小的情況，同時引入了新的符號表示系統.

圖1 最小二乘法線性擬合示意圖

二、線性最小二乘法參數計算

三、誤差估計

將(5)代入(12),

將(7)代入(13),

發現(15)與(16)完全相同！借助Mathematica軟件計算，

Mathematica軟件求解見圖2.

圖2 Mathematica部分計算程序

四、應用實例

表1為某刀具隨用時磨損程度表，分別使用垂直、水平、法向最小二乘法線性擬合.

表1 某刀具隨用時磨損程度表

對數據的計算見圖3，對數據的擬合見圖4.

圖3 Excel計算

圖4 Excel擬合

將Excel分析數據整理得到表2.

表2 擬合所需中間數據表

將表2中數據分別代入(5)(7)(11)得到直線方程，

Ly:y=-0.30357x+27.125，

Lx:y=-0.31206x+27.15471，

L⊥:y=-0.30429x+27.12751，誤差均方和均為0.0135.

用Excel擬合功能擬合Ly如圖4，擬合結果和計算結果高度一致.

三種擬合對比圖見圖5.

圖5 擬合效果對比圖