基于數形結合思想的高中數學解題方法基于數形結合思想的高中數學解題方法

2022-11-19 04:45:14◎聶鑫

數學學習與研究 2022年30期

◎聶鑫

(銅陵市第一中學，安徽銅陵 244000)

一、前言

在以往的高中數學教學中，一些教師生存在重結果、輕過程的情況，他們會直接將解題的方法告訴學生，忽視了學生解題思維能力的培養，導致學生在實際解題時經常會遇到機械模仿的情況，而難以靈活應用數學思想.新課程標準指出，在數學教學中，教師要引導學生關注數形結合，培養學生的數形結合能力，促使學生可以通過數形結合的方式來更好地解決數學問題.對此，在日常教學中，高中數學教師要注重學生數學結合思維的培養，指引學生學會用數形結合的方式解決問題.

二、數形結合思想的特點及作用

(一)數形結合思想的特點

數形結合簡單來說就是將抽象的數學語言與直觀的數學圖像結合起來，實現代數問題、圖像問題之間的相互轉化，便于學生學習.在數學學科中，數、形之間是相互依存的：數量關系雖然比較抽象，卻可以通過幾何圖形來表示；直觀的圖像也需要通過數量關系來呈現.在高中階段，數形結合思想是很重要的一種解題方式.學生通過以數助形，以形輔數，能對問題進行更加靈活的處理.這個過程體現出了學生對復雜問題簡單化處理的能力，對學生思維發展十分有利.

高中階段，數形結合相互轉化的方向可以分為以下三種情況：

一是以數助形，這種方式可以讓學生的解題活動更加便捷，同時能讓學生更加靈活地運用數形結合思想.形主要是幾何圖形.將幾何圖形轉變成代數方式，用代數方式解決幾何問題，可以很好地錘煉學生的圖形轉化思維.

二是以形輔數.這種方式主要是將數學題中涉及的數量關系通過直觀的圖形展現出來，用直觀的圖形解決抽象的代數問題.以形輔數能讓學生的解題思維更加開闊.學生面對抽象的代數問題可能沒有解題思路，而在直觀的圖形中更容易找出解題方法.

三是數形兼顧.這種方式是指在解決數學問題時兼顧題目中的代數、圖形內容.如果學生只看重數，對形不關注，會造成直觀性不強；反之只看重形，忽視了數，則會導致解題嚴密性不足.實現數形的結合，兼顧兩者的優勢，更容易完成解題任務.

(二)數形結合思想的作用

數形結合思想是學習數學知識時十分重要的數學思想之一，在高中階段幾乎每個章節都涉及數形結合思想.在實踐中，高中數學教師要注意不管是講解新知識，還是引導學生復習，或者是在解決數學問題中，都要關注學生數形結合思想的培養.在高中數學中，數形結合思想是一種比較常見的思想，其對于學生的綜合發展有極大幫助.由于數學思想方法與數學知識存在一定差異，數學思想是隱藏在數學知識中的，所以在教學中，高中數學教師應該堅持漸進性、過程性的原則，逐步培養學生的數形結合觀念，強化學生用數形結合方法解決問題的意識，讓學生可以在逐步訓練中加深對數形結合思想的理解，并且能真正地利用數形結合思想來處理數學問題，為學生的良好發展提供保障.

三、數形結合思想應用原則

在解決高中數學問題時，數形結合思想是很重要，也是十分常見的一種解題方法，其對學生數學解題能力的提升有很大影響.在實踐中，高中教師引導學生利用數形結合思想解題時需要注意以下幾個原則：

(一)量變到質變原則

高中數學教師要想讓學生能夠深入把握數形結合的要點，并且能將其靈活地應用于數學解題中，就要在平常對學生多引導，多啟示，引導學生開展充足的聯系，不斷強化學生對數形結合的認知，最終達到量變引起質變的目的.

(二)啟發性原則

教師在指引學生應用數形結合思想解決數學問題時需要充分考慮到學生的個體差異，要平等看待每一個學生，循序漸進地引導學生，讓學生樹立數形結合思想，指引學生靈活應用數形結合方法來處理數學問題，這樣便于學生把控數學知識本質，利于學生學習.

(三)等價性原則

在解數學題時，教師要引導學生將“形”具備的幾何特征與“數”具備的代數性質實現等價轉化，也就是說圖像中的“形”問題應該與“數”中的數量關系保持一致，這樣才能確保解題的準確性.

四、數形結合思想在高中數學解題中的應用途徑

(一)借助數形結合解決函數問題

在高中數學中，函數問題經常會與圖像有很大關聯，如函數最值問題、函數周期問題等，教師可以指引學生利用數形結合的方式來解決函數問題，從而促進學生解題能力的提升.

如已知函數y1=x3,y2=log2x，y3=2x，設x=1.5，試比較y1,y2,y3的大小.

這個問題主要考查學生對函數性質的掌握情況，題目中的三個函數分別是冪函數、對數函數、指數函數，通過代數方式，學生經過大量的計算，則可以得出答案.但是有的學生在計算過程中會出現粗心大意的情況，由于計算錯誤而出錯.對此，教師可以引導學生在解題中通過幾何的方式，將這三個函數的圖像畫出來，根據函數圖像判斷x=1.5時的函數值，從而得出答案.通過作圖學生可以很輕松地得出，x=1.5時，y1>y3>y2.

本題主要考查學生對函數最值的理解.一般情況下，學生求解函數最值時，經常會根據函數的定義域得出值域，或者是利用導數求出函數的單調性，然后完成最值求解.但是本題中的函數是一個復合函數，函數形式比較復雜，學生無論是通過定義域求值域，還是通過導數求函數單調性，整個過程都比較復雜，計算量比較大，容易影響計算的準確性.觀察題目中的函數可以發現，兩個根號中是二次函數形式，對其配方可以得到函數f(x)在x軸上一點到兩點的距離和，這樣復雜的函數問題就可以轉變成形象的代數問題，學生解題就會更加簡單.如圖1所示.

圖1

(二)通過數形結合解決方程或不等式問題

在高中數學學習中，方程和不等式知識也是很關鍵的知識之一，并且方程和不等式問題都與函數問題有極大的關聯.如方程的根可以看作函數圖像中的零點問題、兩個函數圖像的相交問題，而不等式問題有求不等式解集、證明不等式、線性規劃等，這些題型也類似于函數知識.學生在解決方程、不等式問題時，教師可以指引學生利用函數來分析其幾何意義，從而找出新的解題思路，促進學生解題準確性的提升.

如：求方程x2=2x的解有多少個.

本題考查學生對方程的根與函數零點、函數交點等知識的掌握情況.對題目進行分析可以看出，方程左邊是冪函數，而方程的右邊則是指數函數，如果學生直接解題，必然會感覺整個解題過程十分復雜.對此,教師可以引導學生通過幾何的方式，分別將函數y=x2與函數y=2x的圖像畫出來，兩個函數的圖像交點數就是方程解的個數.如圖2所示，函數y=x2與函數y=2x的圖像交點數有3個，因此可以得出方程y=x2與函數y=2x的圖像的解有3個.