關于高等數學中高斯公式的教學思考

方志偉

（佛山科學技術學院數學與大數據學院，廣東 佛山 528000）

高斯公式是高等數學中一個非常重要的公式，是格林公式一種高一維度的推廣，刻畫了三重積分和曲面積分之間的聯系。課堂教學上主要側重于高斯公式的介紹和定理證明，受公式復雜程度的影響，學生往往對公式的理解不夠透徹，在習題計算中經常不能正確恰當使用高斯公式使得計算簡便。本文結合自己的教學實踐，探索高斯公式在高等數學課堂上的教學，從“用與教”“逆向思維”“補”的角度來加強學生數學思維的培養，改變為學而學的不良學習方式，達到輕松深刻的教學效果，為相關內容的教學改革提供一些有益的參考。其次，為進一步理解高斯公式的意義，我們考慮當空間閉區域為球或者球的一部分時，利用球面坐標求解相應的三重積分和球面上的曲面積分，使得計算簡便。此時，高斯公式左右兩端均可用球面坐標表示，所建立的等式關系刻畫了高斯公式在維度上的轉化。

1 高斯公式的簡述

高斯公式表達了空間閉區域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的聯系，表述如下：

高斯公式主要用于簡化求解第二類曲面積分，尤其是封閉曲面上的曲面積分。這里要求曲面取外側，若曲面取內側，則公式加負號。本文依據同濟大學數學系編著的《高等數學（第七版）》中的內容，發現高斯公式的教學往往從數學角度出發，以解決曲面積分計算問題入手，給出公式后再利用重積分理論進行分析證明，然后舉例運用高斯公式進行計算，最后引入物理上的通量、散度概念強調高斯公式的作用。然而這種教學過程有一定的不足，學生會覺得公式復雜難以記憶理解，引起諸多積分概念的混淆，導致學生對多元函數微積分乃至高等數學的畏難情緒，影響教學效果。因此，在高斯公式的教學過程中，應采用更有吸引力的教學方法，讓學生樂于學，主動學。

2 高斯公式的用與教

何時應用高斯公式是一個比較重要的問題，學生往往不能準確判斷是否合適應用公式，其原因在于對高斯公式應用的條件理解不夠準確透徹。我們根據定理1的描述，先從下面幾個角度分析高斯公式的條件：

（3）等式右端第一類曲面積分和第二類曲面積分的區分。這里需要注意的是第一類曲面積分的積分區域不是有向曲面，而第二類曲面積分的積分區域是有向曲面。若曲面為空間閉區域的內側時，等式中的第二類曲面積分前應加負號。這部分內容簡單卻容易被忽略，根據學生的練習反饋發現大部分都會在符號上出錯，是應該著重強調和提醒的信息。

在教學過程中，應加強研究性教學的使用，教會學生思考。針對高斯公式分別從縱向、橫向和點的角度去探索和理解，把科學研究引入到教學中作為基本點，構建一種開放的學習環境，以牛頓—萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式為縱向，以,,三部分為橫向，以兩類曲面積分為點，引導學生分析、解決問題，以達到培養和提高學生的研究和創新能力。

3 高斯公式的逆向思維

高斯公式作為一個刻畫三重積分與曲面積分之間關系的等式，本身的應用自然就是雙向的。我們可以講曲面積分化為三重積分，也可以將三重積分化為曲面積分來實現簡化計算：

（1）曲面積分化為三重積分：當我們遇到一個可構造的閉合曲面上的曲面積分時，只要被積函數,,具有一階連續偏導數，我們就可以將之化為三重積分。這里也有一些可利用的條件，比如：被積函數,,求導后和的形式比較簡單，轉化為三重積分后的空間閉區域比較規則。這也是高斯公式應用的大多數情形，根據問題的復雜性，優先嘗試利用高斯公式進行轉化。這里需要注意的是被積函數對哪個自變量求偏導的問題，還要保證被積函數具有一階連續的偏導數，這是兩個在學生練習反饋中出問題較多的點。

（2）三重積分化為曲面積分：這類應用比較多存在于需要降維的問題，如被積函數對應的,,形式更為簡單，或空間閉區域所對應的閉合曲面有特殊的方程與相關聯時，可以降維簡化三重積分的計算。這類的問題較少，但遇見難以用一般方法求解的三重積分時，可考慮利用高斯公式降維的方式。

在教學過程中，應避免固定思維，強調逆向思維的嘗試。針對高斯公式分別舉例展示計算的簡化過程，從而突破固定思維，以達到培養和提高學生的研究和創新能力。

4 高斯公式的補

我們已知高斯公式的右端曲面積分必須是在封閉曲面上。當所求的曲面積分不是在封閉曲面上時，需要補充一個或幾個曲面使之與原有曲面形成一個封閉區域，這樣就可以利用高斯公式。“補”的思維在高等數學乃至整個數學學科中都會被經常使用，學生學習的過程中應注意到補充的內容形式和方式。在利用高斯公式時，我們一般需要注意以下兩點：

（1）補充的面一般是平面或者規則曲面，這樣在計算補充面上的曲面積分較為容易。原則上，我們補充內容是為了簡化計算，那么就讓構造的內容也便于計算。另一方面，也需要使得經高斯公式應用得到的三重積分便于計算，尤其是當被積函數值為0時，原曲面上的積分等于構造曲面上積分的正值或負值（考慮曲面的方向）。

在教學過程中，應加強補充思維的鍛煉。要理解為什么補充，如何補充，補充后如何進行最終的求解。這也是創新性思維的基本建設，不同的補充內容會達到不同的效果，有利于學生對研究和創新能力的培養。

5 球面坐標下的高斯公式

為了進一步加深對高斯公式的理解，我們考慮空間閉區域為球體時，以球面坐標表述高斯公式的形式。主要內容就是用球面坐標表示三重積分和曲面積分，然后建立起等式關系，通過對等式關系的理解來分析和解釋高斯公式。

5.1 球面坐標下的三重積分

5.2 球面坐標下的閉合曲面積分

5.3 球面坐標下的高斯公式

通過對球面坐標下三重積分和閉合曲面積分的分析，我們可以得到下述定理：

根據定理2的結論，我們發現在球面坐標下，高斯公式的本質就是將一個三重積分化為二重積分，實現維度轉化的效果，從這個角度可以進一步理解高斯公式的意義。當然，并不是空間閉區域為球體的三重積分一定要按照公式描述的轉化方式進行計算，定理2的提出不是出于簡化計算的目的。如果不是從高斯公式的角度推導，我們將三重積分中半徑變量進行積分，也可以得到上述等式右端的積分形式，但推導過程相當復雜，這部分內容留給讀者進行嘗試。

6 總結

從教學實踐中發現，高斯公式是一個難度較高的知識點，大部分學生掌握程度不深，容易誤用。本文從兩個方面對高斯公式的教學進行思考，提出“用與教”“逆向思維”“補”的角度來加強學生數學思維的培養，并利用球面坐標刻畫高斯公式的特殊形式，加深對高斯公式的理解。高等數學是本科教學中的重要的公共基礎課程，其教學效果嚴重影響人才培養質量。因此高等數學授課教師在教學過程中，應切實轉變觀念，從培養數學思維能力入手，啟發學生逐步開放思維，相信對學生提高關于高斯公式乃至高等數學學習效果大有裨益。