以小見(jiàn)大 聚焦變化 指向素養(yǎng)
——以一道“函數(shù)探究題”的改編為例*

周 煉

(江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中 225399)

2022年4月7日，江蘇省泰州市教育局教學(xué)研究室舉辦了全市初中數(shù)學(xué)教師命題比賽.此次比賽以提升初三數(shù)學(xué)教師命題能力、推進(jìn)初中數(shù)學(xué)命題改革、更好落實(shí)雙減政策以及新高考下教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變?yōu)橹饕康模瑫r(shí)也激發(fā)了全市初中數(shù)學(xué)教師以及教研員的命題熱情.比賽分兩種模式：改編試題與原創(chuàng)試題.筆者選擇了改編試題中的一道函數(shù)題作為初始素材，借助于幾何畫板等工具，從結(jié)構(gòu)優(yōu)化、問(wèn)題設(shè)計(jì)、思想升華等方面對(duì)試題展開(kāi)了深入研究，并在改編過(guò)程中形成了一些主張與想法，下文作具體闡述.

1 試題原型與改編

1.1 試題原型

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2-4x+3與x軸相交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C.(1)求直線BC的表達(dá)式.(2)垂直于y軸的直線l與拋物線相交于點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，與直線BC交于點(diǎn)N(x3，y3).若x1

1.2 改編呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，拋物線y=a(x-m)(x-n)(a<0，m

(1)設(shè)a=-1，m=1，n=3.①求線段AB的長(zhǎng)；②證明：當(dāng)c<1時(shí)，一定存在不重合的P，Q兩點(diǎn)且x1+x2的值不會(huì)隨著c的變化而變化.

2 改編策略

2.1 以小見(jiàn)大的維度延伸

·將參數(shù)一般化，以拓寬試題的內(nèi)容

一道試題的背后，往往是命題者對(duì)試題所涉及的方方面面進(jìn)行透徹研究的結(jié)果，但考慮到學(xué)生的思維水平與接受程度，一般都會(huì)對(duì)結(jié)論作特殊化處理，以更加具體的問(wèn)題情境作為呈現(xiàn)載體.但在改編一道試題時(shí)，若依舊停留在特殊化階段，命題的視野與格局便無(wú)法打開(kāi)，看到的也僅僅是特定條件下的固化結(jié)論，不具備遷移性與推廣性，更談不上創(chuàng)新與發(fā)散.若想要激蕩出更多的靈感就要先將試題一般化，對(duì)于函數(shù)題來(lái)說(shuō)主要是將參數(shù)一般化，這是一個(gè)由點(diǎn)到面再由面到點(diǎn)的過(guò)程，只有經(jīng)歷了這樣的過(guò)程，才會(huì)形成更豐富、寬廣、多元化的良好命題樣態(tài).

本題函數(shù)原型是一個(gè)完全確定的二次函數(shù)，但若囿于某個(gè)具體的函數(shù)表達(dá)式，改編的范圍便會(huì)十分狹隘，延伸面也較小.為了創(chuàng)造出更多的可能性，勢(shì)必要將拋物線y=x2-4x+3推廣為更一般的形式.經(jīng)分析，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在整個(gè)問(wèn)題中與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)密切相關(guān)，所以將其一般化為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-m)(x-n)是比較合理的，這樣便能在緊扣原型的基礎(chǔ)上以小見(jiàn)大地切入.至于原型中的直線，在改編時(shí)一開(kāi)始給出的是一般形式y(tǒng)=c，但由于后續(xù)要研究更具體的存在性問(wèn)題，在多次嘗試后發(fā)現(xiàn)令y=m2能與y=a(x-m)(x-n)產(chǎn)生更為具體的、個(gè)性化的代數(shù)關(guān)聯(lián)，最終確定“a，m，n”為本題的參數(shù)設(shè)定.

·將結(jié)構(gòu)層次化以促進(jìn)思維的遞進(jìn)

試題改編不同于直接命題，因?yàn)樵囶}原型本身是有研究基礎(chǔ)的、是原命題者思維的結(jié)晶，所以相當(dāng)于站在“巨人的肩膀”上再研究、再發(fā)現(xiàn).試題改編雖要立足并尊重原型，但更要高于并突破原型，要能在已有研究成果之上彰顯創(chuàng)造性.而正是這樣逐漸往高處走的趨勢(shì)，反而有可能會(huì)在改編后變得“不接地氣”，甚至與學(xué)生的思維水平出現(xiàn)斷層.為了避免這樣的狀況發(fā)生，當(dāng)改編后的問(wèn)題比較抽象或思維過(guò)于密集時(shí)，可以為其設(shè)置有層次的遞進(jìn)結(jié)構(gòu)，通過(guò)從特殊到一般的引導(dǎo)，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)小的切口，再?gòu)倪@個(gè)切口出發(fā)以小見(jiàn)大、循序漸進(jìn)地展開(kāi)研究.

2.2 聚焦變化的改編理念

變化是一切事物的本質(zhì)特征，或者說(shuō)這個(gè)世界上唯一不變的就是變化.在問(wèn)題改編的過(guò)程中賦予變化視角，往往能看到事物的多面性.但雜亂無(wú)章的變化是沒(méi)有研究?jī)r(jià)值的，一般來(lái)說(shuō)，不變性與存在性是在變化情境中研究問(wèn)題的兩個(gè)常見(jiàn)維度，以此重新審視問(wèn)題往往會(huì)獲取不一樣的探究視角.本題改編原型的第二問(wèn)就蘊(yùn)涵著豐富的變化因素，例如在動(dòng)直線平移的過(guò)程中找到符合x(chóng)1

·變化中的不變性

原型中關(guān)于變化中的不變性是相對(duì)隱蔽的，再加上題目中并沒(méi)有直接給出研究不變性所需的參數(shù)，對(duì)于代數(shù)意識(shí)較弱的學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)入門障礙.另一方面，設(shè)出參數(shù)后的推理過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，也不能充分體現(xiàn)學(xué)生的代數(shù)素養(yǎng).基于此，決定在原型基礎(chǔ)上在兩處分別降低、提升一個(gè)維度對(duì)變化中的不變性進(jìn)行改編.

第一處：在(1)②中通過(guò)引入變量c，構(gòu)建了無(wú)論c取何值，都不影響x1+x2恒為定值的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).對(duì)比原型來(lái)看，將“垂直于y軸的直線l”具體化為函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=c，這實(shí)質(zhì)上是多鋪設(shè)了一層臺(tái)階，幫助學(xué)生搭建了設(shè)參數(shù)描述函數(shù)交點(diǎn)的腳手架，避免了在原型中由于缺乏參數(shù)意識(shí)造成一部分學(xué)生在一開(kāi)始就陷入無(wú)從下手的“恐慌”局面.學(xué)生在得到拋物線表達(dá)式y(tǒng)=-x2+4x-3后，只要令-x2+4x-3=c，再根據(jù)c<1便可得Δ=4(1-c)>0，從而發(fā)現(xiàn)一定存在不重合的P與Q兩點(diǎn).

圖1 圖2

圖3 圖4

·變化中的存在性

由于重新設(shè)定的問(wèn)題背景融入了大量參數(shù)，所以函數(shù)圖象相較于原型結(jié)構(gòu)固化的缺陷，有了更加自由的延伸與探索空間.在改編時(shí)可以對(duì)不同的參數(shù)賦值，通過(guò)觀察、分析、推算、驗(yàn)證等方法以發(fā)現(xiàn)更多變化中的存在性，并將其設(shè)定為范圍求值、證明等問(wèn)題，從而將試題改編再推上一個(gè)新的高度.本題共有兩處改編體現(xiàn)了變化中的存在性.

圖5

第一處：在(2)①中“已知點(diǎn)A在直線BC的上方，求m的取值范圍”正是基于原型中“求直線BC的表達(dá)式”、指向存在性研究的改編.在改編時(shí)，借助于幾何畫板對(duì)不同的參數(shù)賦值使圖象位置發(fā)生變化，發(fā)現(xiàn)在變化的過(guò)程中點(diǎn)A時(shí)而落在直線BC的下方(如圖5、圖6)，時(shí)而落在直線BC的上方(如圖7)，并且無(wú)論怎樣改變n值的大小，都不影響點(diǎn)A與直線BC的位置關(guān)系，唯獨(dú)當(dāng)m分別為正值與負(fù)值時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生兩種不同的位置狀態(tài).本題以點(diǎn)A在直線BC的下方作為要滿足的存在性要求對(duì)原型進(jìn)行了改編，發(fā)現(xiàn)通過(guò)代數(shù)推理可得0>-am2+amn，因?yàn)閍<0，所以m2n，但這與條件中的m0，那么m

圖6 圖7

圖8 圖9

3 素養(yǎng)表現(xiàn)

3.1 扎實(shí)的運(yùn)算功底

參數(shù)引入是本次改編的一大特點(diǎn)，除了第一問(wèn)的題①是解簡(jiǎn)單的一元二次方程，后面三個(gè)問(wèn)題均涉及一定量的參數(shù)，而在參數(shù)較多的情況下能根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算，是代數(shù)素養(yǎng)達(dá)成的一種高度體現(xiàn).相較于小學(xué)階段更加注重式的研究，初中階段更關(guān)注學(xué)生的抽象思維能力，在腳手架搭建合理的情況下適當(dāng)設(shè)置一些參數(shù)，可以反映出學(xué)生能否選擇合理的運(yùn)算策略以解決結(jié)構(gòu)不良的代數(shù)問(wèn)題，并以此促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展，這也有助于形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度[1].

3.2 必要的幾何直觀

改編后的問(wèn)題只有第一問(wèn)給出的是具體函數(shù)，但隨著解題的不斷推進(jìn)，學(xué)生會(huì)愈發(fā)感受到函數(shù)的抽象性，越來(lái)越覺(jué)得無(wú)從下手，事實(shí)上這是參數(shù)增多后所引發(fā)的必然結(jié)果.本題之所以沒(méi)有畫出函數(shù)圖象，就是希望學(xué)生能嘗試著自己主動(dòng)畫圖，通過(guò)圖象讓抽象的代數(shù)研究更加具體，以發(fā)展運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣，逐漸形成幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng).前面提到，改編時(shí)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)設(shè)置是逐層遞進(jìn)的，學(xué)生可以先從第一問(wèn)中的具體函數(shù)圖象開(kāi)始畫起，并以此類比畫出后面抽象函數(shù)的大致草圖建立形與數(shù)之間的聯(lián)系.當(dāng)然，僅僅依靠圖象分析并不能完全說(shuō)明問(wèn)題，依舊需要借助于計(jì)算與推理進(jìn)行說(shuō)理.但構(gòu)建直觀模型對(duì)于把握問(wèn)題本質(zhì)、明晰研究路徑等方面的優(yōu)勢(shì)是不言而喻的，它能讓思維看得見(jiàn)、摸得著，讓推理有跡可循.

3.3 嚴(yán)密的推理能力

推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.本題雖然是一道代數(shù)題，但對(duì)學(xué)生的推理能力卻有相當(dāng)?shù)囊螅绕涫亲詈笠粏?wèn)，當(dāng)學(xué)生面臨很多參數(shù)與不等式時(shí)，要將這些不等關(guān)系加以綜合、分析以形成一條清晰的推理主線，是需要非常嚴(yán)密的整合能力的.另外，以小見(jiàn)大、聚焦變化的改編方式，也讓題目中整體結(jié)構(gòu)從特殊到一般的類比，關(guān)于存在性與不變性的分析、表述都建立在了邏輯性的基礎(chǔ)之上.由此看來(lái)，改編后的試題需要學(xué)生較強(qiáng)的推理能力.相信經(jīng)歷了這樣的過(guò)程后，可以讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，有助于培養(yǎng)學(xué)生重論據(jù)、合乎邏輯的思維方式，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.