撥云見日，一探高中數學多項選擇題

◎海南省農墾中學 吳春霞

習近平總書記在2018年全國教育大會中指出：“要在增強綜合素質上下功夫，教育引導學生培養綜合能力，培養創新思維”。高考考試內容改革要落實立德樹人根本任務，從“考知識”“考能力”轉向“考素養”，從“解答題目”轉向“解決問題”，促進學生健康成長、服務國家人才選拔。高考試題要突出綜合性，注重更加豐富的試題呈現方式，在考查必備知識和關鍵能力的基礎上更加強調融會貫通，聯系、發展、辯證地處理主干知識內容，培養關鍵能力和學科素養，著重體現學生的思維品質。

多項選擇題相較于單項選擇題而言，降低了學生做題蒙對的概率：單項選擇題蒙對的概率是四分之一，多選題（四個選項中至少兩個正確）蒙對的概率是十一分之一，更能體現考生的真實水平。而對于做題不是靠蒙的考生，多選題的多級得分模式有利于提高低水平考生的得分，也有利于區分出高能力考生。多項選擇題相對于單項選擇題更能考查學生對知識的真實掌握程度，體現選拔功能。

一、考查意義

1.數學學科概念豐富，只有對概念的內涵與外延理解到位才能避開易錯點，真正掌握概念。多項選擇題可以包含更多的信息，可以從不同的角度設計選擇支，從而更能考查學生對基本概念、基本方法的掌握程度與應用水平。

2.與單項選擇題一樣，多項選擇題題型靈活。多項選擇題能夠覆蓋更多的知識，對學生的答題過程不做要求，從而減少解答時間。在限時考試中，有利于學生“熟、快、準”地求解，既考記憶又考理解，既考演算又考論證。

3.與單項選擇題一樣，多項選擇題利于機器閱卷，評分客觀，能夠提高閱卷效率。這樣能減少因為人工判卷標準差異而造成評分不均，增加試卷的考查信度。

二、命題角度

1.一枝多葉型。在一個問題的情境下，通過設置其從屬關系下的結論為選擇支的題稱為“一枝多葉”型。這樣的命題有利于考查學生知識體系的系統性，增加試卷的知識覆蓋面。

A．f(x)的一個周期為2π

B．f(x)的圖像關于直線對稱

C．f(x)的一個零點為π

D．f(x)在上單調遞減

函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）（或f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0））的 圖 像 及性質，包括五點作圖法、圖像的變換、函數的單調性、最值、奇偶性、對稱軸、對稱中心等，是“三角函數”這一模塊的重要知識點。這道題在給出一個具體的函數的情境下，以其周期、對稱軸、零點、單調性作為選擇支，很好地綜合考查了f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的性質。

2.同氣連枝型。“同氣連枝”出自南朝梁·周興嗣《千字文》：“孔懷兄弟，同氣連枝”，釋義為：有血統關系的親屬，指兄弟姊妹。在這里，筆者將在一個問題情境下，通過設置同一知識模塊中幾個相關單元知識為選擇支的題稱為“同氣連枝”型。這樣的命題相比較“一枝多葉”型，對學生的要求更高：通過對比相關聯的幾個知識的聯系和區別，辨識其本質，如橢圓與雙曲線，等差數列與等比數列等，增加了知識橫向聯系的考查。從2020年與2021年新高考卷的考題來看，這種類型的多項選擇題最受青睞。

例2：（2020年新高考數學Ⅰ卷第9題，Ⅱ卷第10題）已知曲線C:mx2+ny2=1（）。

A.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若m＞n＞0，則C是圓，其半徑為

C.若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為

D.若m= 0，n＞0，則C是兩條直線

“解析幾何”是高中數學的一大重要知識模塊，包含：直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線。這道題通過四個選擇支的設置，考查了橢圓、圓、雙曲線的標準方程，以及它們的相關量：焦點、半徑、漸近線，還有特殊的直線方程。直線、圓、橢圓和雙曲線作為解析幾何模塊的重要構成，它們從定義、標準方程到簡單幾何性質都很類似，如橢圓和雙曲線定義中只有“距離之和”和“距離的差的絕對值”的不同，其他描述完全一樣；如橢圓和雙曲線的標準方程從結果僅有一個“+”和一個“-”的區別，但是其中的a、b的含義卻不同……要掌握它們，即要理解它們的聯系，又要理解它們的不同。這樣的命題，對學生的知識面和關鍵能力要求更高，更能區分出學生的水平，體現試卷的選拔功能。

例3：（2021年新高考數學Ⅰ卷第10題）已知O為坐標原點，點P1( cosα， sinα)，P2(cosβ，-s sinβ)，P3(cos(α+β) ， sin (α+β))，A( 1，0)，則（）。

這道題在已知相關點坐標的情境下，設置了向量的4個選擇支，A、B兩個選擇支考查的是向量的模，C、D兩個分支考查數量積的運算。在進行相關項的運算時，需要運用同角三角函數基本關系式中的平方和關系，以及兩角和的余弦公式。要完成這道題，學生對平面向量坐標形式下的模的運算、數量積的運算，以及三角恒等變換中的公式都需要完全掌握。綜合考查了學生對三角運算、平面向量運算兩個相對獨立又有著關系的知識模塊的掌握情況。

3.百川朝海型。“百川朝海”中文釋義為眾水奔流趨向大海，比喻無數分散的事物匯集到一處。在這里，我將4個選擇支設置成獲得題干結論的充分條件的多項選擇題稱為“百川朝海”型，例如在新定義問題中，將4個選擇支設置成符合（或者不符合）新定義的模型。這種類型類似“一枝多葉”和“同氣連枝”型的逆命題。這種類型與“一枝多葉”“同氣連枝”型共存，更能考查學生的逆向思維以及思維的靈活度。

例4：已知a、b表示直線，α、、β、γ表示平面．定義：若把命題P中的直線改為平面，平面改為直線，得到的命題為真命題，則命題P叫做對偶命題．下列命題為對偶命題的是（）。A．α、∥、β，γ∥、β，則α、∥γB．α、∥、β、，b∥、β，則a、∥、bC．a、⊥、b，γ⊥、b，則α、∥γD．α、∥、β，α、⊥a、，則、β⊥a、

這道題中新定義了“對偶命題”，4個選擇支都滿足題干新定義中的條件，也可能不滿足，需要逐一檢查才能獲解。既考查了學生對選擇支中直線與平面平行、垂直的論證判斷，又考查學生對新定義的理解及運用能力，對學生的學科素養提出更高要求。

4.霧集云合型。將4個選擇支完全來自不同知識點的多項選擇題稱為“霧集云合”型。這種類型的顯著作用是增加試卷的知識覆蓋面，可以將其他題型中沒有考查到又不想漏查的知識匯集在一起進行考查。這種“大雜燴型”的命題方式，因為主題不突出，應該不會在高考試卷中出現。

例5：下列說法正確的是（）。

B．冪 函 數f（x） =mxm2-2m-3（m∈R）在 區 間（0，+∞）上單調遞減

C．拋物線y= 4x2的焦點與橢圓的右焦點重合

D．函數f（x）= sin|x|+ |sinx|的最大值為2

這道題目的4個選擇支依次考查的是向量相等的定義、冪函數的一般形式及其單調性、拋物線與橢圓的焦點、函數的最值。這4個知識點來自不同的知識模塊，選擇支之間相互獨立。

無論是哪種類型的命題角度，都要求學生“熟、快、準”地求解，因此一般不會設計4個選擇支都需要大量演算或者復雜推理的題目，更多的是直接考查學生的基礎知識、基本技能的掌握情況，如例1、例2、例3；或者考查基本思想和基本活動經驗，測評學生分析問題和解決問題的能力，如例4、例5。通過合理設置選擇支，增強試題的靈活性和開放性，多角度的提問、不唯一的答案，讓題海戰術、機械刷題不被推崇，從而起到減負的作用，考查出學生的真實水平，體現選拔功能。

三、解答方法

1.直接法。就是直接從題目的條件出發，利用概念、定理、公式、法則等基本知識來判斷4個選擇支是否正確。如例3，直接代入向量坐標表示下的模的計算公式就能判斷選項A和B,把相關的坐標代入數量積的公式來判斷C和D選項。直接法類似解答題的解法，但是因為不需要書寫過程，所以可以不要逐步求解，可以將心算和手寫結合，大跨度前進，以達到快速求解的目的。高考試題強調雙基的考查，而多項選擇題又能很好地滿足雙基知識覆蓋的題型，所以直接法是其主要解決方法。

2.特例法。特例法是根據題設和各選項的具體情況和特點，選取滿足條件的特殊的數值、特殊的點、特殊的例子、特殊的圖形、特殊的位置、特殊的函數、特殊的方程、特殊的數列等，針對各選項進行代入對照，從而得到正確答案的方法。特例法是解決數學客觀題（選擇或填空題）的常用方法，選取得當可以大大減少解題時間。如例3，可以取可以結合向量的模與數量積的運算法則，快速排除選項B、D，再結合多項選擇題的特點就知道可以選A、C。

3.數形結合法。華羅庚曾說過“數形結合百般好，割裂分家萬事非”。數形結合作為一個重要思想方法，在高中數學中廣泛運用，利用圖形的直觀性，可以使得代數問題一目了然，所以經常是有圖用圖，沒圖想圖進行求解。而對于“一枝多葉”型多項選擇題，如果選擇支考查的是函數的不同性質，就可以利用函數的圖像快速判斷幾個選擇支，如例2，只需要作出的簡圖，就能同時快速地對選項A、B、D進行判斷，再結合圖像的變換就能判斷選項C。

4.矛盾對立分析法。在多項選擇題中如果存在一對選項在數學邏輯上互相對立或者互相矛盾，那么在此對立兩對選項中會有一個正確項；若存在兩對內容互相對立或矛盾的選項，則應該從兩對對立項中分別選擇一個選項作為正確選項；再或者可根據選項中互相矛盾的選項做出對正確答案的基本判斷，即相互矛盾的選項不可同選。

例6：（2022年全國新高考II卷11題）如圖1，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,F-ABE的體積分別為V1、V2、V3、則（）。

圖1

A．V3＝2V2B．V2＝V1

C．V2＝V1＋V2D．2V3＝3V1

注意此題4個選項中出現的矛盾情況，如B正確，CD選項中就會出現體積為0的情況，根據題意這是明顯不可能的，所以B、C、D選項不能同選，此時要么選A、B，要么選C、D；若B是錯誤的，那答案將在A、C、D中產生，且已知A、C、D不能同為正確選項，所以此題不用算就知道只有2個選項是正確的，所以此題正確選項可能是A、B，A、C，A、D，C、D四種可能，雖然這樣不能完全確定準確答案，但是已經大大縮小了此題的難度，或者可以輕易驗證自己的選擇是不是有正確的可能。

5.等價選項辨析法。在多項選擇題中，如果存在兩對等價選項或類似選項，則其中一對等價或類似選項應該為正確選項，此種題目較少，但在高考題中也有呈現。

例7：（2020年全國新高考II卷11題）圖2是函數y= sin（ωx+φ）的部分圖像，則 sin（ωx+φ）＝( )。

圖2

此題用等價選項選擇進行求解法會非常簡單，此題沒有給出φ的取值范圍，所以4個選項均有可能符合條件，但注意到只有B、C選項屬于等價選項，A和D都和B、C不等價，所以此題選B、C或A、D，又因為A和D不是等價選項，不可能同選A、D，所以此題不需要計算即可選B、C。

6.保分法。根據多選題的評分標準，選對部分選項得2分，而有選錯選項的得0分。當我們對4個選項中的部分選項很難判斷對錯或是時間不允許進行驗算時，采用只選對的個別選項保2分，而不是去對無把握的選項作出判斷，避免得0分的風險。

四、教學建議

1.新高考評價體系提出“一核四層四翼”。“四層”中的第一層就是“必備知識”，“四翼”中的一翼是“基礎性”，多項選擇題能更好地增加試卷的覆蓋面，因此在實現這“一層一翼”中發揮著重要的作用，要做好多項選擇題，就需要教師在教學中注重主干知識體系的建立，在“概念、公式、定理”等基本知識的教學中抓住知識的發生點、易錯點等知識的內涵與外延。

2.基于素養導向的新高考除了考查學生的基本知識外，還注重學生關鍵能力和學科素養的體現。在教學中，在覆蓋知識面的基礎上需要通過創設問題情境，使得學生在運用基本知識來解決情境問題中提高提取信息的能力，并能夠轉化成數學問題加以解決，提高轉化的能力，培養學生思維的靈活度和廣度。只有在平常教學中提供促成學生關鍵能力和學科素養養成的情境，才能夠實現能力和素養的養成。

3.在日常教學中，要滲透多項選擇題等新題型的訓練，才能讓學生弄清楚新題型的命題角度及其解決方法。